Производная функции

Пусть функция определена в точках и . Разность называется приращением аргумента, а — приращением функции. Обозначают: . Следовательно, .

.

Пусть определена в точке и в некоторой ее окрестности, такой, что принадлежит этой окрестности.

Функция называется дифференцируемой в точке , если существует предел:

=

Этот предел называется производной функции в точке и обозначается:

.

Для основных элементарных функций производные находят из определения производной. Справедливы следующие формулы дифференцирования:

, .

, в частности .

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Используются следующие формулы дифференцирования. Если функции и дифференцируемы, то

1. .

2. , где .

3. .

4. .

Если — сложная функция, причем функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , тогда функция дифференцируема в точке , причем:

.

Пример 1. Найти производную функции: .

Используя правило 4 дифференцирования частного и формулы производных соответствующих функций, получим:

.

Пример 2. Найти производную: . Здесь ; .

. Значит:

.

Если необходимо найти производную функции , то поступают следующим образом. Логарифмуют обе части равенст-ва: . Получим: . Так как является функцией от , то есть сложная функция, следовательно: .

Таким образом, получаем:

.

Значит: .

Пример 3. Найдем производную .

Здесь .

Значит,