Предел последовательности. Если каждому натуральному числу 1, 2, 3, n, поставим в соответствие действительное число , то множество: называется числовой последовательностью

Если каждому натуральному числу 1, 2, 3, …n, … поставим в соответствие действительное число , то множество: называется числовой последовательностью.

Числа называются элементами последовательности. Сокращенно последовательность обозначают: . Например: Произведением последовательности на число с называется последовательность Суммой последовательностей { x_n } и { y_n } называется последовательность x₁+y₁, x₂+y₂, … y_n+x_n, … Произведением { x_n } и { y_n } называется последовательность . Частным называется последовательность: , если все элементы отличны от нуля.

Число А называется пределом{ x_n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такой номер , что для всех последующих номеров будет выполняться: .

Обозначают: .

Геометрически это означает, что для любого малого найдется такой номер , что все элементы последовательности с номерами окажутся в отрезке , причем в этом отрезке всегда будет находиться бесконечное число элементов последовательности, а за его границами — конечное число элементов.

Например:

Видно, что чем больше n, тем ближе элементы последовательности подходят к точке 0.

Для последовательности 0, 1, 0, 1,… предела не существует.

Число А, удовлетворяющее определению предела, является единственным.

Для{ n }: .

Свойства пределов последовательностей:

1. Предел суммы последовательностей равен сумме преде-лов последовательностей:

.

2. Предел произведения последовательностей равен произведению пределов:

.

3. Предел частного равен частному пределов, при условии, что все элементы и предел знаменателя не равны 0:

.

4. , c = const.

Если предел одной или двух последовательностей равен бесконечности, то можно воспользоваться следующими соотношениями:

для , ; ; , .

Если предел последовательности равен 0, то , .

При нахождении пределов могут возникнуть следующие неопределенности:

Пример 1. Найдем предел:

.

Имеем неопределенность . Разделим числитель и знаменатель на n в наибольшей степени, которая имеется в знаменателе, т. е. на .

Получаем: .

Вторым замечательным пределом называется предел:

,

е — есть константа.

Пример 2. Найдем

Имеем неопределенность . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Сделаем замену: . Т. к. , то и . Можно записать:

Пример 3. Найдем:

Сделаем замену: . Следовательно, и при . Получаем: