![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция называется неубывающей (невозрастающей) на интервале
, если для всех
, таких, что
, выполняется:
. Если в последних неравенствах стоит знак строгого неравенства,
т. е. > (<), то функция называется возрастающей (убывающей):
![]() | ![]() |
Признак монотонности функции. Если функция дифференцируема на интервале
и
на
, то функция
не убывает (не возрастает) на
. Если в последних неравенствах стоит знак строгого неравенства, т. е. > (<), то функция возрастает (убывает) на
.
Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции
, если для всех
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство:
при
. Локальный минимум (min) и локальный максимум (max) называются локальным экстремумом.
![]() |
Необходимое условие локального экстремума. Если
функция имеет в точке
локальный экстремум и, дифференцируема в этой точке, то
.
Точки, в которых или производной не существует, называются точками возможного экстремума, или критическими точками. Точка возможного экстремума не обязательно всегда будет точкой экстремума. Для того, чтобы определить, будет ли точка
, в которой
, точкой экстремума, необходимо воспользоваться достаточным условием локального экстрему-ма. Пусть функция
дифференцируема на отрезке
. Тогда, если
для всех
, а
для всех
, то в точке
функция
имеет локальный максимум (минимум); если же
имеет на отрезке
один и тот же знак, то в точке
экстремума нет.
Другими словами, если при переходе через точку
меняет знак с «+» на «—», то
— точка локального максимума; если
в точке
меняет знак с «—» на «+», то
— точка локального минимума.
Второй достаточный признак существования экстремума. Если в критической точке вторая производная функции отрицательна, то функция в этой точке имеет максимум. Если вторая производная положительна, — минимум.
Говорят, что функция имеет выпуклость вверх (выпуклость), если график этой функции на
расположен ниже любой касательной к графику функции на
. Функция выпукла вниз (вогнута) на
, если график этой функции расположен выше касательной на
.
![]() |
Если функция имеет на интервале
вторую производную и
во всех точках
, то функция
имеет на
вогнутость (выпуклость).
Точка перегиба функции — это точка, в которой направление выпуклости меняется на обратное. Например, функция имеет точку перегиба
:
![]() |
Необходимое условие точки перегиба. Если функция имеет перегиб в точке
и существует вторая производная в этой точке, тогда
.
Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки
. Тогда, если в пределах этой окрестности
имеет разные знаки слева и справа от точки
, функция
имеет перегиб в точке
.
Прямая называется вертикальной асимптотой функции
, если хотя бы одно из предельных значений
или
равно
, или
. Запись
означает, что
стремится к
справа, соответственно,
— слева.
Например имеет вертикальную асимптоту
,
т. к. при
и
при
.
Прямая, называется горизонтальной асимптотой функции
при
, если
.
![]() | ![]() |
Прямая называется наклонной асимптотой функции
при
, если
при
.
Наклонную асимптота находится из следующих соотношений:
;
(9.1)
Полное исследование функции проводится на основе следующего плана:
1. Найти область определения функции .
2. Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодична, то необходимо найти основной период Т, с тем, чтобы, исследовав функцию и построив ветвь графика на промежутке , построить затем, воспользовавшись периодичностью, весь график.
3. Найти точки х, в которых (это будут точки пересечения графика с осью
), а также у, такие, что
.
4. Отметить на оси точки, найденные в пункте 3, и точки, в которых функция не определена, найденные в пункте 1. Эти точки разбивают ось
на несколько промежутков, на каждом из которых функция сохраняет постоянный знак. Установить знак функции на каждом из промежутков.
5. Исследовать функцию на четность и нечетность.
В случае четности или нечетности функции можно ограничиться исследованием и построением графика при , а затем воспользоваться симметрией графика: график четной функции симметричен относительно оси
; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6. Найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
7. Определить участки возрастания и убывания функции. Найти экстремумы.
8. Определить участки выпуклости, вогнутости. Определить точки перегиба.
9. Получить несколько контрольных значений и построить график.
Пример. Исследовать и построить график функции .
1. Областью определения функции являются все точки прямой , за исключением точки
, т. к. в этой точке функция не определена (знаменатель обращается в нуль).
.
2. Функция не является периодичной.
3. Найдем точки пересечения с осями координат. С осью :
.
Так как не имеет вещественных корней, то функция не имеет точек пересечения с
. С осью
:
. Функция пересекает
в точке
.
4. Точка
разбивает ось
на два промежутка. На промежутке
функция отрицательна, на
— функция положительна, так как, если подставить точки
и
в уравнение функции, то получим:
.
.
5. Исследуем на четность и нечетность: . Функция не является ни четной, ни нечетной.
6. Найдем асимптоты функции. Вначале пытаемся найти вертикальную асимптоту. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва . Так как
при
,
при
, то прямая
является вертикальной асимптотой функции. Если
(
), то
,
. Следовательно, горизонтальной асимптоты нет.
Выясним, имеется ли наклонная асимптота. Если существуют конcтанты и b
, определяемые соотношениям (9.1), то наклонная асимптота существует:
Следовательно, при и при
функция имеет наклонную асимптоту
.
7. Для определения критических точек функции необходимо найти первую производную функции и приравнять ее к нулю:
.
. Значит
. Решая это квадратное уравнение, получаем:
;
.
Находим интервалы знакоопределенности производной .
Для этого необходимо подставить произвольные точки из промежутков. ,
. Например, для определения знака производной на промежутке
подставим
в уравнение для
. Получим:
.
Следовательно, получим, что функция на возрастает, на
убывает, на
возрастает. Точка
есть точка максимума, при этом:
.
Точка есть точка минимума, при этом
.
8. Определяем участки выпуклости, вогнутости и возможные точки перегиба. Для этого определим вторую производную:
.
на
;
на
. Значит, на
функция выпукла, а на
функция вогнута. Вторая производная
не обращается в нуль ни в какой точке, следовательно, точек перегиба нет.
9. Построим график функции, используя все предыдущие пункты.
![]() | ![]() |
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 347 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!