Исследование функции

Функция называется неубывающей (невозрастающей) на интервале , если для всех , таких, что , выполняется: . Если в последних неравенствах стоит знак строгого неравенства,
т. е. > (<), то функция называется возрастающей (убывающей):

Признак монотонности функции. Если функция дифференцируема на интервале и на , то функция не убывает (не возрастает) на . Если в последних неравенствах стоит знак строгого неравенства, т. е. > (<), то функция возрастает (убывает) на .

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: при . Локальный минимум (min) и локальный максимум (max) называются локальным экстремумом.

Необходимое условие локального экстремума. Если
функция имеет в точке локальный экстремум и, дифференцируема в этой точке, то .

Точки, в которых или производной не существует, называются точками возможного экстремума, или критическими точками. Точка возможного экстремума не обязательно всегда будет точкой экстремума. Для того, чтобы определить, будет ли точка , в которой , точкой экстремума, необходимо воспользоваться достаточным условием локального экстрему-ма. Пусть функция дифференцируема на отрезке . Тогда, если для всех , а для всех , то в точке функция имеет локальный максимум (минимум); если же имеет на отрезке один и тот же знак, то в точке экстремума нет.

Другими словами, если при переходе через точку меняет знак с «+» на «—», то — точка локального максимума; если в точке меняет знак с «—» на «+», то — точка локального минимума.

Второй достаточный признак существования экстремума. Если в критической точке вторая производная функции отрицательна, то функция в этой точке имеет максимум. Если вторая производная положительна, — минимум.

Говорят, что функция имеет выпуклость вверх (выпуклость), если график этой функции на расположен ниже любой касательной к графику функции на . Функция выпукла вниз (вогнута) на , если график этой функции расположен выше касательной на .

Если функция имеет на интервале вторую производную и во всех точках , то функция имеет на вогнутость (выпуклость).

Точка перегиба функции — это точка, в которой направление выпуклости меняется на обратное. Например, функция имеет точку перегиба :

Необходимое условие точки перегиба. Если функция имеет перегиб в точке и существует вторая производная в этой точке, тогда .

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , функция имеет перегиб в точке .

Прямая называется вертикальной асимптотой функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно , или . Запись означает, что стремится к справа, соответственно, — слева.

Например имеет вертикальную асимптоту ,
т. к. при и при .

Прямая, называется горизонтальной асимптотой функции при , если .

Например, функция имеет горизонтальную асимптоту при и при .

Прямая называется наклонной асимптотой функции при , если при .

Наклонную асимптота находится из следующих соотношений:

; (9.1)

Полное исследование функции проводится на основе следующего плана:

1. Найти область определения функции .

2. Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодична, то необходимо найти основной период Т, с тем, чтобы, исследовав функцию и построив ветвь графика на промежутке , построить затем, воспользовавшись периодичностью, весь график.

3. Найти точки х, в которых (это будут точки пересечения графика с осью ), а также у, такие, что .

4. Отметить на оси точки, найденные в пункте 3, и точки, в которых функция не определена, найденные в пункте 1. Эти точки разбивают ось на несколько промежутков, на каждом из которых функция сохраняет постоянный знак. Установить знак функции на каждом из промежутков.

5. Исследовать функцию на четность и нечетность.

В случае четности или нечетности функции можно ограничиться исследованием и построением графика при , а затем воспользоваться симметрией графика: график четной функции симметричен относительно оси ; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6. Найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

7. Определить участки возрастания и убывания функции. Найти экстремумы.

8. Определить участки выпуклости, вогнутости. Определить точки перегиба.

9. Получить несколько контрольных значений и построить график.

Пример. Исследовать и построить график функции .

1. Областью определения функции являются все точки прямой , за исключением точки , т. к. в этой точке функция не определена (знаменатель обращается в нуль). .

2. Функция не является периодичной.

3. Найдем точки пересечения с осями координат. С осью :

.

Так как не имеет вещественных корней, то функция не имеет точек пересечения с . С осью : . Функция пересекает в точке .

4. Точка разбивает ось на два промежутка. На промежутке функция отрицательна, на — функция положительна, так как, если подставить точки и в уравнение функции, то получим:

.

.

5. Исследуем на четность и нечетность: . Функция не является ни четной, ни нечетной.

6. Найдем асимптоты функции. Вначале пытаемся найти вертикальную асимптоту. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва . Так как при , при , то прямая является вертикальной асимптотой функции. Если (), то , . Следовательно, горизонтальной асимптоты нет.

Выясним, имеется ли наклонная асимптота. Если существуют конcтанты и b , определяемые соотношениям (9.1), то наклонная асимптота существует:

Следовательно, при и при функция имеет наклонную асимптоту .

7. Для определения критических точек функции необходимо найти первую производную функции и приравнять ее к нулю:

.

. Значит . Решая это квадратное уравнение, получаем:

; .

Находим интервалы знакоопределенности производной .

Для этого необходимо подставить произвольные точки из промежутков. , . Например, для определения знака производной на промежутке подставим в уравнение для . Получим:

.
Следовательно, получим, что функция на возрастает, на убывает, на возрастает. Точка есть точка максимума, при этом:

.

Точка есть точка минимума, при этом .

8. Определяем участки выпуклости, вогнутости и возможные точки перегиба. Для этого определим вторую производную:

.

на ; на . Значит, на функция выпукла, а на функция вогнута. Вторая производная не обращается в нуль ни в какой точке, следовательно, точек перегиба нет.

9. Построим график функции, используя все предыдущие пункты.