Предел функции. Множество всех действительных чисел обозначается R

Множество всех действительных чисел обозначается R. Если каждому элементу х множества по некоторому закону соответствует один или несколько элементов множества , то говорят, что на множестве А определена функция ¦, что обозначается как ¦: . Множество А называется областью определения функции. Множество В называется множеством значений функции. Функция ¦: называется действительной функцией действительного аргумента.

Число А называется пределом функции ¦(х) при , если для любого сколь угодно малого найдется такое , что при . Это записывается: .

Аналогично: , если при .

Записывают, , если при , где М есть произвольное положительное число. В этом случае функция ¦(х) называется бесконечно большой при .

Если , то ¦(х) называется бесконечно малой в точке а.

Примеры пределов функции: , ; .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих свойствах. Если существуют конечные пределы , , то:

1. .

2. .

3. , при этом , .

4. Для c = const:

.

Пример 1.

Пример 2. . Имеем неопределенность вида ; для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень х, которая находится в знаменателе, т. е. на . Получаем:

.

Пределы для при равны нулю, т. к. в числителе стоят константы, а знаменатели являются бесконечно большими.