Собственные векторы матрицы

Вектором называется матрица чисел размером :

, где , ,…, — есть координаты .

Говорят, что данный вектор принадлежит линейному пространству .

Например, пространство есть обычная плоскость с векторами: .

Над векторами можно проводить те же операции, что и над матрицами, т. е. умножать на число и складывать их, а также перемножать.

Собственным вектором квадратной матрицы А на-зывается ненулевой вектор (у которого не все координаты равны нулю), удовлетворяющий соотношению:

,

где есть число, при этом называется собственным значением матрицы А.

Для нахождения собственных значений матрицы А порядка n необходимо решить характеристическое уравнение относительно :

, т. е.

Для нахождения собственных векторов необходимо найденные значения подставить в следующую СЛАУ:

,

и решить ее.

Пример. Найти собственные векторы матрицы А:

Составляем характеристическое уравнение:

Решаем квадратное уравнение и находим его корни:

, .

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению , из следующей СЛАУ:

Эта система имеет бесконечное множество решений,
т. к. мы находили из условия равенства нулю определителя матрицы этой системы. Обозначим t, тогда .

Следовательно, собственный вектор, соответствующий собственному значению , есть: .

Аналогично находим, что собственный вектор, соответствующий , есть: .