Метод Гаусса решения СЛАУ

Приведем использование метода Гаусса для решения СЛАУ, состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными:

Вначале составляем расширенную матрицу:

Затем эту матрицу приводят к ступенчатому виду, в котором все элементы, стоящие ниже главной диагонали матрицы А, равны нулю, т. е.:

Для получения ступенчатого вида можно менять местами строки матрицы, умножать все элементы строки на одно число, прибавлять к строке другую строку, умноженную на некоторое число. Тогда из последнего уравнения следует, что:

.

Следовательно: .

Найденное значение подставляем в предпоследнее уравнение, откуда находим :

.

Значит: .

Затем найденные значения и подставляем в первое уравнение и находим .

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса.

Расширенная матрица системы будет иметь вид:

Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 2. Затем из третьей строки вычитаем первую, умноженную на 3. Получаем:

Теперь нужно получить во втором столбе на месте 4 число нуль. Чтобы не иметь дело с дробями, прибавим к третьей строке вторую и затем поменяем их местами. Получим:

Теперь к третьей строке прибавим вторую, умноженную на 3. Получим:

Из последней строки получаем: .

Значит: .

Запишем уравнение, соответствующее второй строке матрицы:

. Значит: .

Подставляем и в первое уравнение и находим :

; .

Метод Гаусса, в отличие от метода Крамера, пригоден и в тех случаях, когда , т. е. когда система является неопределенной.

Пример. Решим СЛАУ:

Запишем расширенную матрицу:

~

Здесь мы поменяли вначале местами первую и вторую строки, а затем из второй строки отняли первую, умноженную на 2, а из третьей отняли первую, умноженную на 2. Получили нулевую строку, т. е. для двух уравнений получили три неизвестных. В таких случаях система имеет бесконечное множество решений.

Решение записывают в следующем виде. Одну из переменных, например, , обозначают за константу с, а остальные переменные выражают из не нулевых строк с учетом этой константы. Например: . Из второго уравнения получаем: . Значит: .

Из первого уравнения: .

Следовательно, получаем общее решение:

Придавая с конкретные значения, мы можем получить частные решения. Например, при получаем:

При система может быть несовместной. Рассмотрим такой пример:

Запишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:

~

Из третьей строки следует, что третье уравнение будет иметь вид: .

Получили противоречивую запись; следовательно, данная система не имеет решений.