Теорема (свойства решений ОСЛУ)

.

Доказательство. 1) Пусть и - два решения системы. Таким образом, и , - справедливые равенства.

Рассмотрим вектор . Проверим, что является решением однородной системы. Подставим его в систему:

.

2) Пусть . Рассмотрим вектор . Подставим его в систему: . ■

Следствие 3. Любая линейная комбинация решений ОСЛУ является решением этой системы.

Интересно найти такие линейно независимые решения системы, через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

Определение. Линейно независимая система решений (векторов) е₁, е₂,…, е_n-r называется фундаментальной (ФСР) если каждое решение системы линейных однородных уравнений является линейной комбинацией этих векторов.

Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) ОСЛУ называетсялюбой базис множества Е всех решений этой системы.

Теорема (о фундаментальной системе решений). Если ранг ОСЛУ меньше числа неизвестных, то ФСР существует и число решений в любой из них равно n-r.

Если ранг системы r (A)= r, r<n; то система имеет n-r линейно независимых решений е₁,е₂,…е_n-r, причем любое решение системы является линейной комбинацией решений е₁,е₂,…е_n-r.