Решение систем линейных уравнений методом замещения

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

.

Метод замещения основан на методе Гаусса. Данный метод решения систем линейных уравнений состоит в преобразовании расширенной матрицы системы к виду, при котором r переменных (r = rang ) образуют диагональную (в частности, единичную) матрицу, что позволяет сразу, без дополнительных преобразований получить решение системы.

На каждом шаге решения выбирается направляющий элемент а_rs ¹0 (любой элемент матрицы коэффициентов А, отличный от нуля), r – я строка называется направляющей строкой, а s– й столбец – направляющим столбцом. Элементы направляющей строки делятся на направляющий элемент, а элементы других строк заменяются на новые по правилу прямоугольника:

,

где – определяемый элемент;

– заменяемый элемент;

– элементы, стоящие в оставшихся углах прямоугольника:

– элементнаправляющегостолбца, стоящий в одной строке с заменяемым элементом ;

– элементнаправляющей строки, стоящий в одном столбце с заменяемым элементом ;

a_rs – направляющий элемент.

Схема правила прямоугольника:

После получения новой матрицы выбирается новый, отличный от нуля, направляющий элемент в другой строке, вычисляется новая матрица и т.д., пока матрица А не будет приведена к диагональному виду.

Пример. Решить следующую систему уравнений методом замещения:

.

Решение.

Так как число уравнений m =3 меньше числа неизвестных n =5, тогда ранг матрицы системы A_m´n не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. . В этом случае система совместна и неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Шаг 1. В качестве направляющего элемента удобно взять элемент равный единице (). Направляющую переменную следует исключить из остальных уравнений, поэтому на месте направляющего элемента добиваемся единицы, разделив элементы направляющей строки на направляющий элемент, а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю.

Так как , то элементы направляющей строки не меняются. Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:

.

Шаг 2. В качестве направляющего элемента берем элемент не равный нулю (). Делим элементы направляющей строки на направляющий элемент (–1), а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю. Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:

Шаг 3. В качестве направляющего элемента берем элемент третьей строки, например, . Делим элементы направляющей строки на направляющий элемент (10), а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю. Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника.

Новая матрица имеет вид: .

Поменяем местами строки этой расширенной матрицы:

Так как все строки матрицы уже брались в качестве направляющих, то выпишем систему уравнений, соответствующую последней матрице:

Объявим свободными неизвестные х ₃и х ₅ и сформируем правые части уравнений, оставляя в левых частях слагаемые, содержащие базисные переменные х ₁, х ₂, х _4.

Каждому набору значений свободных переменных соответствует единственное решение системы, тогда общее решение системы имеет вид:

,где - любые числа.