Структура общего решения неоднородной линейной системы

Рассмотрим неоднородную линейную систему:

и соответствующую ей систему однородных уравнений:

Пусть - какое-то фиксированное решение неоднородной линейную системы и - любое другое ее решение. Тогда разность

будет решением однородной системы

.

Далее, если - произвольное решение однородной системы, то сумма

будет решением неоднородной системы

Отсюда следует, что все решения неоднородной линейной системы уравнений можно получить, прибавляя к одному какому-нибудь ее решению всевозможные решения соответствующей ей однородной системы.

Иными словами, общее решение неоднородной системы уравнений равно сумме общего решения соответствующей ей однородной системы и произвольного, но фиксированного решения неоднородной системы: если — фундаментальная система решений однородной системы и – произвольное фиксированное решение неоднородной системы, то общее решение неоднородной системы имеет вид:

Пример. Найти общее решение и одно из частных решений линейной системы

.

Решение.

Найдем и :

~ ~

~ ~ ~

~ .

Итак, r = r (A) = r (A ₁) = 2, а число неизвестных п = 5. Следовательно, r < n, и система имеет бесконечно много решений (совместна, но не определена).

Число базисных неизвестных равно r, то есть двум. Выберем в качестве базисных неизвестных х ₁ и х ₂, коэффициенты при которых входят в базисный минор преобразованной матрицы А: .

Соответственно х ₃, х ₄, х ₅ – свободные неизвестные. Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой являются элементы полученной матрицы:

и выразим базисные неизвестные через свободные:

.

Получено общее решение системы. Одно из частных решений можно найти, положив все свободные неизвестные равными нулю: х ₃ = х ₄ = х ₅ = 0. Тогда

Таким образом, общее решение имеет вид

;

частное решение – х ₃ = х ₄ = х ₅ = 0.

Другая возможность получить общее решение неоднородной системы заключается в предварительном нахождении общего решения соответствующей однородной системы. При этом искомое общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы (6) и частного решения системы (3).

Пример. Найти общее решение неоднородной линейной системы

с помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.

Решение.

Убедимся в том, что система совместна:

~ ~ ~

~ .

Итак, r (A) = r (A ₁) = 2 – система совместна.

Составим по преобразованной матрице однородную систему:

и найдем для нее фундаментальную систему решений:

,

.

Фундаментальная система решений может быть выбрана так:

, , .

Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы

.

Положим х ₃ = х ₄ = х ₅ = 0, тогда . Следовательно,

,

и общее решение системы имеет вид:

,

где с ₁, с ₂, с ₃ – произвольные постоянные.