Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Рассмотрим метод Гаусса, который является более общим методом решения системы линейных уравнений как квадратных, так и произвольной размерности.

Суть этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных с помощью элементарных преобразований данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. Далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения неизвестных: начиная с последних по номеру переменных, находят все остальные. Более подробное рассмотрение алгоритма, реализующего метод Гаусса, проведено в разделе 11 данного пособия.

Определение. Переход системы к ступенчатому виду называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из этой системы – обратным ходом.

Если система m линейных уравнений c n неизвестными оказалась совместной, т.е. , то могут представиться две возможности:

1. Если r=n, то имеем n уравнений с n неизвестными, причем определитель ∆ этой системы отличен от нуля. С помощью элементарных преобразований СЛУ приводится к треугольному виду. Таким образом, после выполнения «прямого хода» получаем систему уравнений вида:

.

Такая система имеет единственное решение. Поднимаясь снизу вверх («обратный ход»), последовательно находим:

из последнего n- го уравнения неизвестное ;

из (n- 1) - го уравнения неизвестное , подставляя это уравнение уже найденное неизвестное ;

и т.д. до первого уравнения, из которого при подстановке в него уже найденных неизвестных , ,…, находим .

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы.

Применяя матричную форму записи, запишем расширенную матрицу и преобразуем ее на следующем примере:

.

Расширенная матрица свелась к матрице ступенчатого вида. Соответствующая ей система имеет вид:

Используя «обратный ход» метода Гаусса, найдем из третьего уравнения , из второго и из первого .

2. Если r<n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае объявляем неизвестные х_{r+ 1} ,…х_n свободными и переносим их в правые части уравнений, оставляя в левых частях слагаемые, содержащие базисные переменные х ₁ ,…х_r:

Эту систему решаем относительно неизвестных x ₁, x ₂,..., x_r. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим соответствующие числовые значения для x ₁, x ₂,..., x_r.

Таким образом, при r < n система имеет бесконечное множество решений.