Решение системы линейных уравнений в общем случае

Решить систему линейных уравнений значит указать все ее решения или убедиться в том, что их нет, или указать способ их нахождения.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

у которой .

Определение. Неравный нулю минор максимального порядка r матрицы А называется базисным минором этой матрицы:

,

где М – базисный минор матрицы А.

Определение. Базисной подсистемой СЛУ называется совокупность тех уравнений этой системы, коэффициенты при неизвестных которых входят в базисный минор матрицы этой системы:

Теорема. Система линейных уравнений эквивалентна любой своей базисной подсистеме.

Доказательство. а) Пусть - любое решение СЛУ. Это означает, что при его подстановке в систему мы получаем верные числовые равенства:

Рассмотрим первые r равенств из этой системы. Они означают, что вектор является решением базисной подсистемы

,

т.е. все решения исходной системы

являются решениями базисной подсистемы.

б) Пусть - любое решение базисной подсистемы. В расширенной матрице рассмотрим строки, отвечающие базисной подсистеме, т.е. первые r строк матрицы . Эти строки линейно независимы в силу и их количество равно , следовательно, они образуют базис системы всех матрицы . Последнее означает, что любая строка расширенной матрицы линейно выражается через первые r строк матрицы или любое уравнение исходной системы линейно выражается через уравнения базисной подсистемы, поэтому любое решение базисной подсистемы, обращая в верные числовые равенства все уравнения базисной подсистемы, будет обращать в верные числовые равенства и любую линейную комбинацию этих уравнений, в частности, и все уравнения исходной системы. ■

Данная теорема сводит решение исходной СЛУ к решению равносильной ей подсистемы, ранг которой равен r.

Если r = n, то базисная подсистема СЛУ является системой r линейных уравнений с r неизвестными и определитель .

Рассмотрим подробнее случай .

Определение. Базисными (основными) неизвестными СЛУ называются те переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы этой системы.

Определение. Свободными (неосновными) неизвестными СЛУ называются те переменные, коэффициенты при которых не входят в базисный минор матрицы этой системы.

В нашем случае переменные называются базисными (основными), а остальные n-r переменных называются свободными (неосновными).

Перепишем систему уравнений, перенеся свободные переменные направо:

Свободные неизвестные объявляются параметрами, которым можно придавать произвольные числовые значения и после этого полученную систему можно рассматривать как систему r линейных уравнений с r неизвестными. В этом случае определитель системы .

Таким образом, каждому набору значений свободных переменных соответствует единственное решение системы .

Определение. Решение системы, в которой все n-r неосновных переменных равны нулю, называются базисным.

Определение. Общим решением системы линейных уравнений называется множество всех ее решений, записанных в виде

,

зависящее от n-r параметров (свободных переменных).