Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Для решения совместной СЛУ ранга r необходимо:
1) найти любой базисный минор матрицы исходной системы и выписать соответствующую ему базисную подсистему;
2) свободные неизвестные перенести вправо и объявить их параметрами;
3) решить полученную систему r линейных уравнений с r неизвестными и получить общее решение СЛУ.
Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, так называемые системы крамеровского типа.
8.4. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:
.
Определение. Система линейных уравнений называется квадратной, если число уравнений системы рано числу неизвестных этой системы, т.е. m=n.
Определение. Определителем ∆ системы n линейных уравнений c n неизвестными называется определитель, порожденный матрицей этой системы
.
Определение. Вспомогательным (дополнительным) определителем системы называется определитель ∆ i, получающийся из определителя ∆ заменой i-го столбца столбцом свободных членов этой системы
.
Определение. Квадратная система линейных уравнений называется невырожденной, если определитель ее системы отличен от нуля.
Квадратные СЛУ решаются одним из следующих способов:
1) методом Крамера;
2) методом обратной матрицы;
3) методом Гаусса.
8.4.1. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными
методом Крамера
Теорема Крамера. Если определитель D системы n линейных уравнений c n неизвестными отличен от нуля, то система совместна и определена и ее единственное решение определяется по формулам
.
Доказательство. Ясно, что для любой системы m линейных уравнений c n неизвестными выполняются неравенства . Мы рассматриваем случай m = n, поэтому получаем , т.е. . Так как по условию теоремы определитель системы , то по теореме о ранге матрицы получаем , поэтому возможно только если . Равенство означает совместность нашей системы, а - ее определенность.
Пусть - единственное решение системы. Подставим его во все уравнения системы. Получим верные числовые равенства
.
Через обозначим алгебраическое дополнение элемента определителя ∆. Зафиксируем число и i –е числовое равенство умножим на :
.
Просуммируем все такие равенства по i:
.
Учитывая, что , где - символ Кронекера, получаем
. ■
Если определитель системы и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесчисленное множество решений. Если же определитель системы , а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.
Пример:
,
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 415 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!