Исследование систем линейных уравнений

Исследовать систему линейных уравнений означает выяснить, совместна она или несовместна, а в случае совместности выяснить, определена она или неопределенна.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛУ). Для того, чтобы система m линейных уравнений относительно n неизвестных была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы A и ранг расширенной матрицы , полученной путем приписывания к матрице А столбца свободных членов В, были равны, т.е.

r (A)= r или

.

Доказательство. Необходимость. Пусть СЛУ совместна. Докажем, что r (A)= r . В силу совместности системы существует вектор , такой, что выполняется векторное равенство . Рассмотрим две системы векторов:

– (I) столбцы матрицы А;

– (II) столбцы расширенной матрицы А | B.

Видно, что , поэтому система векторов (I) линейно выражается через систему (II). Верно и обратное: система (II) линейно выражается через систему (I). В самом деле, можно записать:

Следовательно, системы векторов (I) и (II) эквивалентны и r (A)= r .

Достаточность. Пусть r (A)= r . Докажем, что система совместна. Возьмем некоторый базис системы векторов (I) . Эти же вектора образуют базис системы (II), т.к. они линейно независимы и их число r (A)= r , поэтому через векторы линейно выражаются все векторы системы (II), в том числе и вектор В:

.

Ясно, что вектор - решение СЛУ. Таким образом, совместность системы доказана. n

Определение. Если СЛУ совместна, то ранг матрицы этой системы r(A) называется рангом СЛУ.

Теорема (Критерий определенности СЛУ). Совместная СЛУ определена тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен числу неизвестных: .

Теорема (Критерий неопределенности СЛУ). Совместная СЛУ неопределенна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных: .

Таким образом, при исследовании системы СЛУ общего вида () возможны три варианта:

1) если r (A)= r < r = n, то система несовместна;

2) если r (A) = r = r и r = n, где n – число неизвестных, то система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение;

3) если r (A) = r = r и r <n, где n – число неизвестных, то система совместна и неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.