Завдання до теми

Знайти розв’язок задачі про вимушені коливання струни під дією зовнішніх сил

(), (11)

, (12)

. (13)

Розв’язування. Представимо розв’язок задачі (11)–(12) у вигляді

. (14)

Функція задовольняє рівняння (11) та крайові умови (13). Тоді отримаємо задачу для :

, (15)

. (16)

Загальним розв’язком рівняння (15) є функція . Довільні сталі і знайдемо з умов (16):

;

.

Таким чином, розв’язок задачі (15)–(16) має вигляд

. (17)

Підставимо функцію (17) у вираз (14) і отримуємо задачу для :

, (18)

(19)

. (20)

Задачу (18)-(19) розв’яжемо методом Фур’є. У нашому випадку , а . Звідси . Знайдемо : .

= = = =

= = .

Таким чином, розв’язок задачі (18)–(20) має вигляд

. (21)

Підставляючи знайдені функції (17) та (21) у вираз (14), отримуємо розв’язок даної задачі (11)–(13)

.

Завдання для перевірки знань

§ Розв’язати рівняння (), яке задовольняє нульові початкові та крайові умови .

Відповідь:

.

§ Розв’язати рівняння , яке задовольняє початкові умови і крайові умови .

Відповідь: .

Контрольні питання

§ Перевірити, що вигляду (4) є розв’язком задачі (1)–(3).

§ Що називається задачею Штурма–Ліувілля?

Література: [1, 6].