Завдання до теми. Всередині кільця розв’язати крайову задачу

Всередині кільця розв’язати крайову задачу

, , .

Розв’язування. Згідно з формулою (5) розв’язок задачі має вигляд

.

З граничної умови маємо

, звідки , , (), (). З граничної умови маємо

, звідки , , (), (). Написані рівності об’єднуємо таким чином:

() ()

Розв’язуючи ці системи, отримуємо:

, , , , , ,

(), (), а тому шуканою функцією є

.

Завдання для перевірки знань

§ Знайти гармонічну функцію всередині кільця , яка задовольняє крайовим умовам: , .

Відповідь: .

Контрольні питання

§ Запишіть оператор Лапласа у полярних координатах.

§ Запишіть розв’язок задачі (1)–(2) у вигляді інтеґрала Пуассона.

§ Які функції називаються гармонічними?

Література: [6-8].