Короткі теоретичні відомості. Нехай потрібно знайти розв’язок хвильового рівняння

Нехай потрібно знайти розв’язок хвильового рівняння

, (1)

де – швидкість поширення хвилі, яке задовольняє початкові

, (2)

та крайові умови

(3)

Шукаємо розв’язок задачі (1)-(3) у вигляді добутку двох функцій

.

Підставивши цей вираз до рівняння (1), отримаємо рівність

.

Розділивши його на добуток , ми відокремимо змінні:

.

Ця рівність можлива тільки в тому випадку, якщо обидві її частини окремо дорівнюють одній і тій самій сталій. Позначивши її через , приходимо до двох звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:

, (4)

. (5)

Загальні розв’язки цих рівнянь мають вигляд

, (6)

, (7)

де – довільні сталі.

Сталі і можна знайти, користуючись крайовими умовами (3).

. (8)

Розв’яжемо задачу (4), (8), яка називається задачею Штурма-Ліувілля.

.

.

Таким чином, . (9)

Підставляючи знайдені значення в (7), отримуємо

. (10)

Помноживши (9) і (10), ми отримаємо сукупність функцій:

,

де , .

Так як рівняння (1) лінійне та однорідне, то сума розв’язків також являється розв’язком, яке можна представити у вигляді ряда

.

При цьому розв’язок повинен задовольняти початковим умовам:

.

.