Короткі теоретичні відомості. Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику

Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Лапласа у прямокутнику

, , (1)

, , (2)

, . (3)

Задачу (1)–(3) розіб’ємо на дві задачі, кожна з яких має однорідні крайові умови по одній зі змінних. Нехай , де і є відповідно розв’язки таких задач у прямокутнику:

(4) (5)

Розв’язок задачі (4) методом Фур’є має вигляд

, (6)

де , . (6')

Розв’язок задачі (5) методом Фур’є має вигляд

, (7)

де , . (7')

Таким же чином можна розв’язувати крайову задачу для рівняння Лапласа у прямокутнику з іншими крайовими умовами.