Точная верхняя (нижняя) граница

Совокупность всех верхних границ Е обозначается через Е^s, всех нижних границ - через Еⁱ. В случае, когда Е^s (Еⁱ) непусто, говорят, что Е ограничено сверху {снизу). Если элемент z принадлежит пересечению (соответственно, ), то он является наибольшим {наименьшим} элементом множества Е. Выражение типа (Е^s)ⁱ эквивалентно Е^si. Непустота пересечения { } означает, что среди верхних (нижних) границ Е имеется наименьшая (наибольшая); ее называют точной верхней {нижней) границей, или верхней {нижней) гранью множества Е.

Утверждение. Пересечения { } не могут содержать более одного элемента

Доказательство.

Пусть . Тогда х ≤ у, поскольку . Аналогичным образом убеждаемся в справедливости противоположного неравенства y ≤ x А тогда х = у.

Верхняя (нижняя) грань, если она существует, обязательно единственна. Точная верхняя граница (supremum) множества Е обозначается символом sup Е, точная нижняя граница (infimum) — символом inf Е.

Если элементы Е занумерованы с помощью некоторого множества индексов Ξ = {ξ}, то применяются обозначения

sup Е = inf Е =

Если Е состоит из конечного числа элементов х₁,х₂,,..., х_n, то пишут

sup Е = или sup Е =

inf Е = или inf Е = .

Основные свойства верхних и нижних границ в произвольном частично упорядоченном множестве X.

1. Если то , .

2. Если и существуют sup Е₁, и sup Е₂ (inf Е₁ и inf Е₂), то

sup Е₁ ≤ sup Е₂ inf Е₁ ≥ inf Е₂

3.Соотношения х ≤ у, , равносильны.

4. Пусть E = {Е}—непустой класс подмножеств X, каждое из которых имеет верхнюю {нижнюю) грань. Предположим далее, что совокупность этих граней в свою очередь имеет supremum (соответственно infimum). Тогда этот последний представляет собой верхнюю (нижнюю) грань объединения .

Это свойство называется свойством ассоциативности граней. Его можно выразить формулами

и

предполагая, что фигурирующие в правых частях грани существуют.

Свойства 1-3 очевидны.

Остановимся на доказательстве ассоциативности, ограничившись, случаем верхних граней. Обозначим

,

Для произвольного элемента можно указать множество , которому он принадлежит. Поэтому , Теперь, взяв произвольно , замечаем, что в силу 1 будет для каждого , то есть Видим, что элемент я есть верхняя граница для множества всех , и поэтому . Доказали, что элемент y есть наименьшая из верхних границ множества F, то есть точная верхняя граница.

Cвойства, связанные с преобразованием границ при изоморфизмах и дуальных изоморфизмах.

5. Если φ - изоморфизм, то всегда

,

.

6. Если φ - изоморфизм, то всегда

,

.

при условии, что хотя бы одна из граней, фигурирующих в равенстве, существует.

7. Если φ - дуальный изоморфизм, то всегда

,

.

8. Если φ - дуальный изоморфизм то всегда

,

.

с той же оговоркой, что и в 6.

Отметим в заключение очевидную изотонность операций и .