Символический язык содержательных теорий множеств

В процессе изучения курса будем различать объектный язык теории множеств и метаязык, средствами которого изучается объектный язык.

Под языком теории множеств будем понимать реляционную систему, основным множеством которой являются символы алфавита A, а отношения позволяют получать синтаксически правильные языковые выражения, среди которых выделяют формулы F.

В этом плане L = ‹A,B›, B A A² ... Aⁿ, F B.

Логическая экспликация понятия подмножества А мн-ва М с агрегатной и атрибутивной точек зрения следующая:

(AM)  (х((xA)  (xM))) (1)

(AM)  (x((xA)  (xM))) (2)

здесь метасимволы  и  следует считать соответственно как "эквивалентность" и "если…то".

Примеры.

1. Множество всех четных целых чисел. М = { для некоторого }

2. Множество натуральных чисел. .

Если М_а М_b, но М_а и М_а М_b, то М_а является собственным подмножеством в М_b. Таким образом, если множество М' - подмножество множества М, а множество М не является подмножеством множества М', то множество М' называется собственным подмножеством множества М.

Для обозначения этого факта будем использовать двойной знак включения подмножеств , т.е. писать .

ТЕОРЕМА Множество, имеющее бесконечное подмножество, бесконечно:

.