Множество с атрибутивной точки зрения

Агрегатная точка зрения, в отличие от атрибутивной, является логически несостоятельной в том плане, что она приводит к парадоксам типа Рассела и Кантора (см. ниже).

В рамках атрибутивной точки зрения множества отождествляются со свойством, определяющим соответствующую совокупность элементов. В этом случае записывают m М (сокращенно М (m)) – элемент m обладает свойством М. Здесь m элемент множества М, понимаемого как свойство - оператор отношения предикации , М (эквивалентная запись М()) является одноместным предикатом (логическим сказуемым, т. е. то, что говориться об элементе m).

Любому св-ву мн-ва М соответствует потенциально бесконечная совокупность элементов, которым присуще это св-во М. В этом плане понятие "конечное мн-во" есть структурно сложные эмпирические или абстрактные объекты (абстрактные агрегаты).

Пример:

1) Учебная группа ИСТАС-2 в рамках атрибутивной точки зрения является структурно сложным эмпирическим (объектом).

2) Абстрактный агрегат {2, 4, 6} является абстрактным структурно сложным элементом составных частей 2, 4, 6, находящихся в отношении четности к числу 2.

3) N = {1, 2, 3, 4…} - множество всех натуральных чисел, т. е. n N (читается " n является натуральным числом")

б) Подход к построению теории множеств может быть содержательным (в читаемом курсе – это алгебраическая система А) и формальным. (Будет рассмотрена в математической логике).

в) В рассматриваемой книге классической теории множеств используется абстракция актуальной бесконечности, мыслимой, в отличие от потенциальной бесконечности, как завершённый объект и к которой применимы все теоретико-множественные операции.

Парадокс Рассела (Бертран Рассел (1872-1970)

Возможность задания множеств характеристическим предикатом зависит от предиката. Использование некоторых предикатов для этой цели может приводить к противоречиям. Например, все рассмотренные в примерах множества не содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим множество Y всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента:

.

Если множество Y существует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: ? Пусть , тогда . Пусть , тогда . Получается неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела.

Бытовая формулировка парадокса Рассела. В полку имеется полковой Брадобрей, который работает по следующему приказу. Брить бороды только у тех, которые сами себя не бреют. Вопрос может ли Брадобрей брить себе бороду? Ответ: а) если он не бреет себе бороду, то он должен себя брить. Как только он начинает себя брить, то по приказу он не должен себя брить.

Избежать парадоксов удается только в рамках аксиоматической теории множеств, т.е. теории, которая ограничивает способы задания множеств специальной аксиоматикой.

Вот три способа избежать этого конкретного парадокса.

Ограничить используемые характеристические предикаты видом

,

где А — известное, заведомо существующее множество (универсум). Обычно при этом используют обозначение . Для Y универсум не указан, а потому Y множеством не является.

2. Теория типов. Объекты имеют тип 0, множества элементов типа 0 имеют тип 1, множества элементов типа 0 и 1 — тип 2 и т. д. Y не имеет типа и множеством не является.

3. Явный запрет принадлежности множества самому себе: — недопустимый предикат. Соответствующая аксиома называется аксиомой регулярности.

Парадокса Рассела можно избежать, ограничив рассматриваемые множества. Например, достаточно запретить рассматривать в качестве множеств классы, содержащие самих себя. При этом, однако, нет полной уверенности в том, что не обнаружатся другие противоречия. Полноценным выходом из ситуации являлось бы аксиоматическое построение теории множеств и доказательство непротиворечивости построенной формальной теории. Однако исследование парадоксов и непротиворечивости систем аксиом является технически трудной задачей и уводит далеко в сторону от программистской практики, для которой важнейшими являются конечные множества. Поэтому формальная аксиоматика теории множеств здесь не приводится. Мы излагаем необходимые сведения полуформально, опираясь везде, где это возможно, на программистскую интуицию читателя.