Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Структура



Частично упорядоченное множество X называется структурой, если в нем любое двухэлементное множество имеет точные границы и .

Лемма 1. В любой структуре всякое конечное множество элементов имеет точные границы.

Упражнения

1.Упростить выражение

2. Докажите, что следующие условия эквивалентны 1 , 2. , 3 , 4 , 5 .

3. Записать множество через пересечение ().

4. Докажите, что . Как называется этот закон?

5. Докажите, что . Как называется этот закон?

1. Группа студентов насчитывает 25 человек. Из них 15 любят математику, 10 — физику, 8 — не любят ни математику, ни физику. Сколько студентов любят и математику, и физику?

2. На собрании студентов-отличников были как студенты второго курса, так и студенты третьего курса. Все они либо любители прозы, либо любители поэзии. Студентов-юношей было 16, а любителей прозы — 24. Студентов-девушек было ровно столько, сколько юношей любителей прозы. Сколько студентов было на собрании?

3. В группе из 100 студентов английским языком владеют 28 человек, немецким — 30, французским — 42, английским и немецким — 8, анг­лийским и французским— 10, немецким и французским— 5, а всеми тремя языками владеют 3 студента. Сколько студентов не знают ни одно­го из названых языков?

Комментарий

ОТСТУПЛЕНИЕ

Существование и анализ парадоксов в теории множеств способствовали развитию так называемого конструктивизма — направления в математике, в рамках которого рассматриваются только такие объекты, для которых известны процедуры (алгоритмы) их порождения. В конструктивной математике исключаются из рассмотрения те понятия и методы классической математики, которые не заданы алгоритмически

Первым и важнейшим математическим пространством является трехмерное эвклидово пространство, предоставляющее собой приближенный абстрактный образ реального пространства. Общее понятие пространства в математике сложилось в результате обобщений и изменений понятий геометрии эвклидова пространства.

В современной математике пространство — это множество объектов, называемых точками, введенными отношениями между точками и теми или иными операциями над элементами множеств.

Примерами пространств могут служитьметрическое пространство, нормированное пространство, пространство событий, пространство состояний и целый ряд других пространств.Метрическое пространство — это множество точек Х с расстоянием между ними d>0, удовлетворяющем трем аксиомам:

1) d(х, у) =0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома идентичности);

2) d(х, у) = d(у, х) (аксиома симметрии);

3) d(х, у) = d(х, z) + d(y,z) + d(y,z), где х,у, z Х (аксиома треугольника).

Расстояние d(х, у) называется метрикой, а пара (х, d) —метрическим пространством. Простейшим примером метрического пространства является множество действительных чисел Х с расстоянием между ними d = \х - у\.

В двумерном эвклидовом пространстве Е2 (плоскости) расстояние между двумя точками М11,y1), М22 2) определяется по выражению d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2. Эта же формула распространяется на трехмерное эвклидово пространство d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2+ (z1 - z2)2 и на многомерное его обобщение Еn, в котором элементами множества Х являются упорядоченные наборы 1, х2,..., хi..., хn> действительных чисел: расстояние между двумя точками этого пространства определяется по выражению

d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2 + (z1 - z2)2

Линейные пространства — это такие множества, элементы которых удовлетворяют следующим условиям:

1) для каждой пары элементов х,у Х определен третий элемента z Х, называемый их суммой и обозначаемой как х+у. При этой сумма удовлетворяет следующим условиям: х+у=у+х,

x+(у+v) = (x+у)+v;

2) во множестве Х существует такой элемент 0, что х+0 = х для всех х X;

3) для всех х Х существует такой элемент -х, что х+(-х) = 0;

4) для любого числа а и любого элемента х X определен элемент а такой, что (а+β)х = ах+βx, а(х+у) = ах + ау.

Очевидным примером линейного пространства является множество действительных чисел с обычными правилами их сложениям умножения. Если n -мерном эвклидовом пространстве E* упорядоченные наборы чисел 1,..., хi,..., хn> Х считать координатами векторов с условием, что нулевой вектор – это вектор с нулевыми значениями 1,..., хi,..., хn>, то такое векторное пространство линейное, потому что операции действия с вектором отвечают перечисленным выше аксиомам.

Дальнейшим расширением понятия линейного пространства является линейное нормированное пространство. Это такое пространство, в котором для каждого элемента х X существует неотрицательное число ||х||, называемое его нормой и удовлетворяющее следующим условиям:

||х|| = 0, тогда и только тогда, когда х = 0;

||ах|| = а||х||, где а — некоторое число;

||х+y|| ≤ ||х|| + ||y||

Линейное нормированное пространство является метрическим пространством с нормой d = ||х - y||, так как эта норма удовлетворяет аксиомам метрического пространства:

||х - y|| = 0, если х = у; ||х - y|| = ||y-х||; ||х - y||||х - z|| + ||z - y||

Нормой ||х|| в одномерном векторном пространстве Е1 является абсолютная величина х. Нормой двумерного пространства (плоскости) Е2 является длина вектора, вычисляемая по выражению ||х|| = . Для n -мерного векторного пространства норма ||х|| определяется по аналогии с двухмерным пространством

||х|| = .

В заключение следует сказать, что в терминах линейных векторных пространств формулируются задачи математического программирования, и в частности, дискретного программирования, которое относят к задачам дискретной математики.

Контрольные вопросы и задачи

1. Дайте определение множества.

2. Что такое множество? Как его обозначить? Как можно задать множество? Что такое подмножество?

3. Когда множество считается заданным?

4. Как принято обозначать и задавать множества? Приведите примеры задания множеств.

5. Какое множество называется пустым?

6. Когда множества равны?

7. Равны ли множества А = {а, b, с, d}, В = {а, b, с, d}?

8. Что такое семейство множеств?

9. Из скольких множеств состоит семейство А = {{0}, {1,2}, {1,2},{0}}?

10. Принадлежит ли элемент 2 множеству A={{ 1,2}, {1,2, 3}}?

11. Дайте определение включения множеств.

12. Является ли множество A = {х |0 ≤ х ≤ 1} подмножеством В = {х| 1≤ х≤ 3}, подмножеством С = {х |-3 ≤.х ≤2}?

13. Какое минимальное число подмножеств имеет не пустое множство?

14. Запишите все подмножества множества А = {1, 4}.

15. Перечислите все элементы индексированного множества Z = {zi|1≤i≤3}. Запишите индексное множество.

16. Какие множества называются конечными? Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.

17. Выпишите элементы объединения множеств А = {а,b}, В = {1,b}, С = {1,d}.

18. Выпишите элементы пересечения множеств A = {{a,b}, { }, {a}}, B={{с},{a},{1}}.

19. Выпишите элементы множества М = А - В для множеств'.4 ={1,3, 5}, В ={5, 6, 7}.

20. Выпишите элементы множества М = (А - В) В) для множств А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {3, 4, 5}; для множеств А = {2, 4, 5}, B = {1, 4}; для множеств А = {1}, В = .

21. Дайте определение разбиения множества. Приведите все разбиения для множества А = {a, b, с}.

22. Какие множества называются эквивалентными? В каких случаях эквивалентны конечные и бесконечные множества?

23. Дайте определение счетного множества.

24. Что такое мощность множества? Дать определение.

25. Чему в математике служат отношения?

26. Как классифицируются отношения в зависимости от числа связей между элементами множества?

27. Дайте определение бинарного отношения.

28. Что представляет собой декартово произведение множеств?

29. Выпишите декартовы произведения множеств А = {а, b}, В = {1, 3}; декартового квадрата А = {1, а}.

30. Сколько элементов включает декартовый квадрат множества A = {1, 2,...,i,...,n}?

31. Дайте определение бинарного, тернарного и n-арного отношения в терминах множеств.

32. Что понимают под рефлексивными и антирефлексивными отношениями?

33. Как характеризуются симметричные, асимметричные и антисимметричные отношения?

34. Дайте определение транзитивного отношения.

35. Дайте определение отношения эквивалентности и приведите примеры.

36. Какое отношение называется отношением нестрогого порядка? Является ли отношение ≤ на множестве А = {1, 2, 3} отношением нестрогого порядка?

37. Какое отношение называется отношением строгого порядка?

38. Какое множество называется упорядоченным, полностью упорядоченным?

39. Что такое линейный порядок?

40. Дайте определение функции.

41. Является ли отношение R = {<1,а>, <1,b>, <2,а>}, определенное на декартовом произведении множеств А = {1,2}, B = {а, b}, функцией?

42. Является ли функция f(х) = х2 инъективной?

43. Что представляет собой функционал?

44. Как в математике определяется пространство?

45. Какое пространство называется метрическим?

46. Что представляет собой линейное пространство?

47. Дайте определение линейного нормированного пространства.

7.

Контрольные вопросы

1. Какие основные символы, используемые в теории множеств, вы знаете?

3. Какие основные операции выполняются над множествами?

4. Какое множество можно назвать универсальным?

5. Что такое диаграмма Эйлера-Венна? Проиллюстрируйте с помощью диа­граммы Эйлера-Венна объединение и пересечение трех множеств.

6. Каковы соотношения между множествами и составными высказывани­ями?

7. Сформулируйте и докажите основные тождества алгебры множеств.

8. Что называется кортежем и какие кортежи называются равными?

9. Что такое: декартово произведение множеств; декартова степень некото­рого множества А; бинарное отношение, заданное на множестве А?

10. Назовите основные свойства бинарных отношений. Какое отношение на­зывается рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным? Какое отношение называется отношением эквивалентности?

11. Дайте определение отображения множества А во множество В. Поясните термин «мощность множества».

12. Что такое сюръекция, инъекция, биекция?

Лекция № 3

Подобно тому, как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще более совершенным, более точным и ясным.

Н. И. Лобачевский





Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 702 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.016 с)...