 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Структура
|
|
Частично упорядоченное множество X называется структурой, если в нем любое двухэлементное множество 
имеет точные границы 
и 
.
Лемма 1. В любой структуре всякое конечное множество элементов имеет точные границы.
Упражнения
1.Упростить выражение 
2. Докажите, что следующие условия эквивалентны 1 
, 2. 
, 3 
, 4 
, 5 
.
3. Записать множество 
через пересечение (
).
4. Докажите, что 
. Как называется этот закон?
5. Докажите, что 
. Как называется этот закон?
1. Группа студентов насчитывает 25 человек. Из них 15 любят математику, 10 — физику, 8 — не любят ни математику, ни физику. Сколько студентов любят и математику, и физику?
2. На собрании студентов-отличников были как студенты второго курса, так и студенты третьего курса. Все они либо любители прозы, либо любители поэзии. Студентов-юношей было 16, а любителей прозы — 24. Студентов-девушек было ровно столько, сколько юношей любителей прозы. Сколько студентов было на собрании?
3. В группе из 100 студентов английским языком владеют 28 человек, немецким — 30, французским — 42, английским и немецким — 8, английским и французским— 10, немецким и французским— 5, а всеми тремя языками владеют 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного из названых языков?
Комментарий
ОТСТУПЛЕНИЕ
Существование и анализ парадоксов в теории множеств способствовали развитию так называемого конструктивизма — направления в математике, в рамках которого рассматриваются только такие объекты, для которых известны процедуры (алгоритмы) их порождения. В конструктивной математике исключаются из рассмотрения те понятия и методы классической математики, которые не заданы алгоритмически
Первым и важнейшим математическим пространством является трехмерное эвклидово пространство, предоставляющее собой приближенный абстрактный образ реального пространства. Общее понятие пространства в математике сложилось в результате обобщений и изменений понятий геометрии эвклидова пространства.
В современной математике пространство — это множество объектов, называемых точками, введенными отношениями между точками и теми или иными операциями над элементами множеств.
Примерами пространств могут служитьметрическое пространство, нормированное пространство, пространство событий, пространство состояний и целый ряд других пространств.Метрическое пространство — это множество точек Х с расстоянием между ними d>0, удовлетворяющем трем аксиомам:
1) d(х, у) =0 тогда и только тогда, когда х=у (аксиома идентичности);
2) d(х, у) = d(у, х) (аксиома симметрии);
3) d(х, у) = d(х, z) + d(y,z) + d(y,z), где х,у, z 
Х (аксиома треугольника).
Расстояние d(х, у) называется метрикой, а пара (х, d) —метрическим пространством. Простейшим примером метрического пространства является множество действительных чисел Х с расстоянием между ними d = \х - у\.
В двумерном эвклидовом пространстве Е2 (плоскости) расстояние между двумя точками М1(х1,y1), М2(х2 ,у2) определяется по выражению d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2. Эта же формула распространяется на трехмерное эвклидово пространство d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2+ (z1 - z2)2 и на многомерное его обобщение Еn, в котором элементами множества Х являются упорядоченные наборы <х1, х2,..., хi..., хn> действительных чисел: расстояние между двумя точками этого пространства определяется по выражению
d2 = (х1 – х2)2 + (у1 – y2)2 + (z1 - z2)2
Линейные пространства — это такие множества, элементы которых удовлетворяют следующим условиям:
1) для каждой пары элементов х,у Х определен третий элемента z Х, называемый их суммой и обозначаемой как х+у. При этой сумма удовлетворяет следующим условиям: х+у=у+х,
x+(у+v) = (x+у)+v;
2) во множестве Х существует такой элемент 0, что х+0 = х для всех х X;
3) для всех х Х существует такой элемент -х, что х+(-х) = 0;
4) для любого числа а и любого элемента х X определен элемент а такой, что (а+β)х = ах+βx, а(х+у) = ах + ау.
Очевидным примером линейного пространства является множество действительных чисел с обычными правилами их сложениям умножения. Если n -мерном эвклидовом пространстве E* упорядоченные наборы чисел <х1,..., хi,..., хn> Х считать координатами векторов с условием, что нулевой вектор – это вектор с нулевыми значениями <х1,..., хi,..., хn>, то такое векторное пространство линейное, потому что операции действия с вектором отвечают перечисленным выше аксиомам.
Дальнейшим расширением понятия линейного пространства является линейное нормированное пространство. Это такое пространство, в котором для каждого элемента х X существует неотрицательное число ||х||, называемое его нормой и удовлетворяющее следующим условиям:
||х|| = 0, тогда и только тогда, когда х = 0;
||ах|| = а||х||, где а — некоторое число;
||х+y|| ≤ ||х|| + ||y||
Линейное нормированное пространство является метрическим пространством с нормой d = ||х - y||, так как эта норма удовлетворяет аксиомам метрического пространства:
||х - y|| = 0, если х = у; ||х - y|| = ||y-х||; ||х - y|| ≤ ||х - z|| + ||z - y||
Нормой ||х|| в одномерном векторном пространстве Е1 является абсолютная величина х. Нормой двумерного пространства (плоскости) Е2 является длина вектора, вычисляемая по выражению ||х|| = 
. Для n -мерного векторного пространства норма ||х|| определяется по аналогии с двухмерным пространством
||х|| = 
.
В заключение следует сказать, что в терминах линейных векторных пространств формулируются задачи математического программирования, и в частности, дискретного программирования, которое относят к задачам дискретной математики.
Контрольные вопросы и задачи
1. Дайте определение множества.
2. Что такое множество? Как его обозначить? Как можно задать множество? Что такое подмножество?
3. Когда множество считается заданным?
4. Как принято обозначать и задавать множества? Приведите примеры задания множеств.
5. Какое множество называется пустым?
6. Когда множества равны?
7. Равны ли множества А = {а, b, с, d}, В = {а, b, с, d}?
8. Что такое семейство множеств?
9. Из скольких множеств состоит семейство А = {{0}, {1,2}, {1,2},{0}}?
10. Принадлежит ли элемент 2 множеству A={{ 1,2}, {1,2, 3}}?
11. Дайте определение включения множеств.
12. Является ли множество A = {х |0 ≤ х ≤ 1} подмножеством В = {х| 1≤ х≤ 3}, подмножеством С = {х |-3 ≤.х ≤2}?
13. Какое минимальное число подмножеств имеет не пустое множство?
14. Запишите все подмножества множества А = {1, 4}.
15. Перечислите все элементы индексированного множества Z = {zi|1≤i≤3}. Запишите индексное множество.
16. Какие множества называются конечными? Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.
17. Выпишите элементы объединения множеств А = {а,b}, В = {1,b}, С = {1,d}.
18. Выпишите элементы пересечения множеств A = {{a,b}, { 
}, {a}}, B={{с},{a},{1}}.
19. Выпишите элементы множества М = А - В для множеств'.4 ={1,3, 5}, В ={5, 6, 7}.
20. Выпишите элементы множества М = (А - В) 
(А 
В) для множств А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {3, 4, 5}; для множеств А = {2, 4, 5}, B = {1, 4}; для множеств А = {1}, В = .
21. Дайте определение разбиения множества. Приведите все разбиения для множества А = {a, b, с}.
22. Какие множества называются эквивалентными? В каких случаях эквивалентны конечные и бесконечные множества?
23. Дайте определение счетного множества.
24. Что такое мощность множества? Дать определение.
25. Чему в математике служат отношения?
26. Как классифицируются отношения в зависимости от числа связей между элементами множества?
27. Дайте определение бинарного отношения.
28. Что представляет собой декартово произведение множеств?
29. Выпишите декартовы произведения множеств А = {а, b}, В = {1, 3}; декартового квадрата А = {1, а}.
30. Сколько элементов включает декартовый квадрат множества A = {1, 2,...,i,...,n}?
31. Дайте определение бинарного, тернарного и n-арного отношения в терминах множеств.
32. Что понимают под рефлексивными и антирефлексивными отношениями?
33. Как характеризуются симметричные, асимметричные и антисимметричные отношения?
34. Дайте определение транзитивного отношения.
35. Дайте определение отношения эквивалентности и приведите примеры.
36. Какое отношение называется отношением нестрогого порядка? Является ли отношение ≤ на множестве А = {1, 2, 3} отношением нестрогого порядка?
37. Какое отношение называется отношением строгого порядка?
38. Какое множество называется упорядоченным, полностью упорядоченным?
39. Что такое линейный порядок?
40. Дайте определение функции.
41. Является ли отношение R = {<1,а>, <1,b>, <2,а>}, определенное на декартовом произведении множеств А = {1,2}, B = {а, b}, функцией?
42. Является ли функция f(х) = х2 инъективной?
43. Что представляет собой функционал?
44. Как в математике определяется пространство?
45. Какое пространство называется метрическим?
46. Что представляет собой линейное пространство?
47. Дайте определение линейного нормированного пространства.
7.
Контрольные вопросы
1. Какие основные символы, используемые в теории множеств, вы знаете?
3. Какие основные операции выполняются над множествами?
4. Какое множество можно назвать универсальным?
5. Что такое диаграмма Эйлера-Венна? Проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна объединение и пересечение трех множеств.
6. Каковы соотношения между множествами и составными высказываниями?
7. Сформулируйте и докажите основные тождества алгебры множеств.
8. Что называется кортежем и какие кортежи называются равными?
9. Что такое: декартово произведение множеств; декартова степень некоторого множества А; бинарное отношение, заданное на множестве А?
10. Назовите основные свойства бинарных отношений. Какое отношение называется рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным? Какое отношение называется отношением эквивалентности?
11. Дайте определение отображения множества А во множество В. Поясните термин «мощность множества».
12. Что такое сюръекция, инъекция, биекция?
Лекция № 3
Подобно тому, как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще более совершенным, более точным и ясным.
Н. И. Лобачевский
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 703 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
