Числовые характеристики ДСВ

Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х с законом распределения:

			…
			…

называется число

(7.6.1)

Примечание: Математическое ожидание называют также средним значением, еще и центром распределения случайной величины.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной случайной величины равно самой постоянной, т.е. .

Следствие. .

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

Следствие. .

Свойство 3. Математическое ожидание алгебраической суммы двух (или нескольких) случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, т.е. .

Свойство 4. Для независимых случайных величин X и Y: .

Пример. Пусть X и Y – две независимые случайные величины, причем и . Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение. .

Определение 2. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

(7.6.2)

Примечание: Дисперсия показывает степень рассеяния значений случайной величины относительно центра (т.е. математического ожидания).

Свойство 1. Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е. .

Следствие. .

Свойство 2. Постоянный множитель выносится из-под дисперсии в квадрате, т.е.
.

Следствие. .

Свойство 3. Для независимых случайных величин X и Y дисперсия их алгебраической суммы равна сумме дисперсий, т.е. .

Свойство 4. Из определения дисперсии можно получить «рабочую» (более удобную) формулу для вычисления дисперсии:

, где .

Пример. Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин X и Y

X				Y
P	0,3	0,7		p	0,5	0,2	0,3

1) Найти числовые характеристики величины X: .

2) Найти числовые характеристики величины Y: .

3) Найти по свойствам математического ожидания и дисперсии.

4) Найти , составив закон распределения случайной величины .

Решение. 1) .

;

.

2) ;

3) По свойствам математического ожидания и дисперсии:

4) Составим закон распределения случайной величины :

или

	0,15	0,06	0,09	0,35	0,14	0,21

после приведения подобных элементов и записи в порядке возрастания значений окончательно получим:

	0,15	0,06	0,35	0,23	0,21

, что совпадает с результатом ранее вычисленного в п.3.