Примеры. 1. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Подряд извлекают два шара

1. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Подряд извлекают два шара. Какова вероятность того, что они оба черные?

Решение. Пусть событие А – первый шар черный, событие В – второй шар черный.

где - вероятность того, что второй вынутый шар черный, при условии, что первый шар также черный.

2. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым – 0,8; третьим – 0,9. Найти вероятность того, что: 1) все три стрелка попадут в цель; 2) все три стрелка промахнутся; 3) только один стрелок попадет в цель; 4) только два стрелка попадут в цель; 5) не более двух стрелков попадут в цель; 6) хотя бы один стрелок попадет в цель.

Решение.

1) Пусть событие А – все три стрелка попадут в цель.

Обозначим вероятность того, что первый стрелок попадет в цель Р(1)=0,7; второй – Р(2)=0,8; третий – Р(3)=0,9. Тогда .

2) Пусть событие B – все три стрелка промахнутся. Обозначим вероятность того, что первый стрелок промахнется ; второй - ; третий - . Тогда .

3) Пусть событие С - только один стрелок попадет в цель, т.е. произойдет либо событие , либо событие , либо событие . Переходя к вероятностям, получим .

4) Пусть событие D – только два стрелка попадут в цель. Из соображений, аналогичных предыдущему случаю, получим .

5) Пусть событие E – не более двух стрелков попадут в цель, т.е. произойдет либо событие B – все три стрелка промахнутся, либо событие C – только один стрелок попадет в цель, либо событие D – только два стрелка попадут в цель. Вероятности событий B, C, D у нас уже известны: . Будем иметь:

.

6) Рассмотрим два события – все три стрелка промахнутся, – хотя бы один попадет. Эти события являются противоположными, следовательно, .