Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

(7.3.1)

Рис. 7.1

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А) .

Вероятность появления синего шара (событие B) .

События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому .

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
или .

Пример. В ящике имеется 10 деталей, из которых 4 стандартных. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.

Решение. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» - противоположные. Обозначим первое событие через , а второе - .

Очевидно, .

Найдем . Общее число способов, которыми можно извлечь 5 деталей из 10, равно
.

Число нестандратных деталей равно 10-4=6; из этого числа деталей способами извлечь 5 нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных 5 деталей нет ни одной стандартной, равна .

Искомая вероятность .