Лекция 57 Понятие числового ряда

Пусть дана числовая последователь­ность а ₁, а ₂, а ₃,..., а_n,... Выражение вида

называется числовым рядом или просто рядом. Числа а ₁, а ₂, а ₃,..., а_n... называются членами ряда, член а_n с про­извольным номером — общим членом ряда. Суммы конечного числа членов ряда

S ₁= а ₁, S ₂= а ₁+ а ₂, S ₃= а ₁+ а ₂+ а ₃,…, S_n = а ₁+ а ₂+ а ₃+…+ а_n,

называются частичными суммами ряда.

Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм S ₁, S ₂, S ₃,..., S_n,...

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда. Это запи­сывается так:

Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм расходится.

Геометрическая прогрессия: b_n = b ₁· q^{n -1}

;

Частичная сумма S_n, при q ¹1 имеет вид:

· Если | q |<1, то - ряд сходится;

· Если | q |³1, то - ряд расходится.