Лекция 61 Абсолютная и условная сходимость

Ряд (1) (с членами произвольных знаков) заведомо сходится, если сходится положительный ряд (2): составленный из абсолютных значений членов данного ряда.

Остаток данного ряда (1) по абсолютному значению не превосходит соответствующего остатка ряда (2).

Сумма S данного ряда(1) по абсолютному значению не превосходит суммы S'ряда (2). |S|£S'. Равенство имеет место только тогда, когда все члены ряда (1) — одного знака.

Замечание 1. Ряд (1) может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов (в этом случае сходится и данный ряд).

Определение 2. Ряд называется условно схо­дящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится.

Замечание 2. Сходящийся ряд, у которого все члены положительны или все члены отрицательны, - абсолютно сходящийся.

Исследовать ряд на сходимость:

1)

Данный ряд положительный, поэтому применим признак Даламбера.

Ответ: ряд сходится.

2)

Применим признак Коши для положительного ряда:

Ответ: ряд сходится.

3)

Применим признак Лейбница для знакопеременного ряда. Так как члены ряда стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению, следовательно, ряд сходится:

Ответ: ряд сходится.

4)

Применим признак сравнения:

Сравним данный ряд с рядом .

Применяя интегральный признак сходимости, вычисляем интеграл:

Это значит, что ряд расходится. Так как члены исследуемого ряда больше членов рассмотренного расходящегося ряда , делаем вывод о расходимости исследуемого ряда.

Ответ: ряд расходится.

·