Лекция 51 Подстановки Эйлера

Интегралы вида:

рационализируются одной из подстановок Эйлера:

Первая подстановка Эйлера применима при a >0:

Члены, содержащие х ² взаимно уничтожаются, и х (а значит, и dx) выражается через t рационально.

Третья подстановка Эйлера применима всякий раз, когда трёхчлен имеет действительные корни, и, в частности, при a<0. Пусть корни будут х₁ и х₂, тогда полагаем

Рациональное выражение радикала находим так:

Замечание: первая и третья подстановки Эйлера достаточны, чтобы вычислить любой интеграл, рассматриваемого вида.

Вторая подстановка Эйлера применима при c >0:

возводя в квадрат и деля затем на х, получаем рациональное выражение х через t.

Лекция 52 Определённый интеграл.

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [ а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а = x ₀< x ₁< x ₂<…< x_n = b.

Обозначим это разбиение через t, а точки x ₀, x ₁, x ₂, …, x_n, будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [ х_{i -1}, х_i ] выберем произвольную точку x_i (х_{i -1}£ x_i £ х_i). Через Dх_i - обозначим разность х_i - х_{i -1} которую будем называть длиной частичного отрезка [ х_{i -1}, х_i ]. Составим сумму: , которую назовём интегральной суммой для функции f (x) на [ a; b ], соответствующей данному разбиению [ a; b ] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек x_i.

Геометрический смысл суммы s: сумма площадей прямоугольников с основаниями Dx ₁, Dx ₂, …, Dx_n и высотами f (x ₁), f (x ₂),…, f (x_n), если f (x)³0.

Определение 1: Если существует конечный предел I интегральной суммы при (l ®0 – наибольшая из длин всех частичных промежутков) Dх_i ®0, то этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [а, b ].

В этом случае f (x) – называется интегрируемой на [ а, b]. Числа а и b – называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – называется подынтегральной функцией, х – переменная интегрирования.

Лекция 53 Основные свойства определённого интеграла.

· Если а = b, то ;

· Если а > b, то ;

· Каковы бы ни были числа а, b и с, всегда имеет место равенство: ;

· Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла: ;

· Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов: ;

· Если всюду на отрезке [ а, b ] функция f (x)³0, то ;

· Если всюду на отрезке [ а, b ] функция f(x)³g(x), то .

Теорема о среднем: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ а, b ], то на этом отрезке существует точка с такая, что .

Геометрический смысл теоремы: величина определённого интеграла при f (x)³0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту f (с) и основание b - a.

Теорема (необходимое условие интегрируемости): Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ а, b ], то она ограничена на этом отрезке. Необходимое условие не является достаточным.

Теорема (достаточное условие интегрируемости): Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ а, b ], то она интегрируема на нём.