Лекция 29 Производная функции

Пусть на некотором промежутке X определена функция y = f (x). Возьмем любую точку х ₀Î Х и зададим аргументу х в точке х ₀ произвольное приращение D х такое, что точка х ₀+D х также принадлежит X. Функция получит приращение D у = f (х ₀+D х)- f (x ₀).

Определение 1: Производной функции у = f (x) в точке х ₀ называется предел при D х ®0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Геометрический смысл производной. Пусть функция y = f (x) определена на интервале (а, b) и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента х ₀, а точка Р - значению х ₀+D х. Проведем через точки М и Р прямую и назовем её секущей. Обозначим через j (D х) угол между секущей и положительным направлением оси Ох. Очевидно, что этот угол зависит от D х.

Если существует , то прямую с угловым коэффициентом k = tgj ₀, проходящую через точку М (х ₀; f (x ₀)) называют предельным положением секущей МР при D х ®0 (или при Р ® М).

Определение 2: Касательной S к графику функции у = f (x) в точке М называется предельное положение секущей МР при D х ®0 (или при Р ® М).

Итак, производная функции y = f (x) в точке х ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в точке М (х ₀; f (x ₀)) и равна тангенсу угла наклона касательной с положительным направлении оси абсцисс.

Физический смысл производной. Предположим, что функция y = f (x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т. е. у = f (х)-путь, пройденный точкой М от начала отсчёта за время х.

Тогда за время х ₀ пройден путь y = f (x ₀), а за время х ₁ - путь y = f (x ₁).

За промежуток времени D х = x ₁- х ₀ точка М пройдёт отрезок пути D y = f (x ₁)- f (x ₀)= f (x ₀+D х)- f (x ₀).

Отношение D у /D х называется средней скоростью движения (v _ср) за время D х, а предел отношения D у /D х при D х ®0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени х ₀ (v _мгн).

Определение 3: Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке х ₀, если её приращение D y в этой точке можно представить в виде D y = А D х + a (D х)D х,

где А - некоторое число, не зависящее от D х, а a (D х) - функция аргумента D х, являющаяся бесконечно малой при D х ®0, т. е. . Доказано, что А = f ¢(х ₀).

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема 1: Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируема в точке х ₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

Теорема 2: Если функция y = f (x) дифференцируема в данной точке х ₀, то она и непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не иметь производной в этой точке.