Лекция 24 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1: Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х ₀ (или при х ® х ₀), если .

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые последовательности.

Определение 2: Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = х ₀ (или при х ® х ₀), если .

Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции при х ®¥, х ®+¥, х ®-¥, х ® х ₀-0, х ® х ₀+0.

Теорема: Функция, обратная бесконечно большой функции является бесконечно малой и наоборот.

Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций:

Пусть при х ® х ₀ функции a (х) и b (х) являются бесконечно малыми. Тогда:

а) если , то a (х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем b (х);

б) если , то a (х) и b (х) называются бесконечно малыми одного порядка;

в) если , то a (х) и b (х) называются эквивалентными бесконечно малыми и обозначается a (х)~ b (х).

г) если , то a (х) называется бесконечно малой n -го порядка относительно b (х);

Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения.