Лекция 22 Основные теоремы о пределах

Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2: Сходящаяся последовательность ограничена.

Замечание: Ограниченная последовательность может быть расходящейся.

Теорема 3: Сумма (разность, произведение и частное) двух сходящихся последовательностей { х_n } и { у_n }, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности, произведению и частному) пределов последовательностей { х_n } и { у_n }.

Теорема 4: Если элементы сходящейся последовательности { х_n }, начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству х_n ³ b (х_n £ b), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству а ³ b (а £ b).

Определение предела функции на языке последовательностей даёт возможность рассматривать теоремы о пределах функций, как и теоремы о пределах последовательностей.

Теорема 5: Пусть функции f (x) и g (x) имеют в точке х ₀ пределы В и С. Тогда функции

1.) f (x)± g (x),

2.) f (x)· g (x)

3.) f (x)/ g (x) (при С ¹0)

имеют в точке х ₀ пределы, равные соответственно

1.) В ± С,

2.) В · С

3.) В / С.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.