Неравенство Чебышева

Рассмотрим случайную величину с математическим ожиданием и дисперсией . Каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной

. (1.19.1)

Доказательство:

Пусть для определенности – случайная непрерывная величина, плотность вероятности которой есть . Тогда

.

Так как , то

.

Что и требовалось доказать.

Замечание:

Иногда неравенство Чебышева удобно записывать в другой форме

. (1.19.2)