Числовые характеристики системы двух случайных величин. Начальным моментом порядка системы случайных величин называется математическое ожидание произведения

Начальным моментом порядка системы случайных величин называется математическое ожидание произведения

. (1.18.21)

Центральным моментом порядка системы случайных величин называется математическое ожидание произведения

. (1.18.22)

Для случайных дискретных величин формулы (1.18.21), (1.18.22) принимают вид

, (1.18.23)

. (1.18.24)

Для случайных непрерывных величин формулы (1.18.21), (1.18.22) принимают вид

, (1.18.25)

. (1.18.26)

Рассмотрим частные случаи формул (1.18.21), (1.18.22). Так, например, начальный момент

,

есть математическое ожидание случайной величины , а начальный момент

,

есть математическое ожидание случайной величины .

Центральный момент

,

есть дисперсия случайной величины , а центральный момент

,

есть дисперсия случайной величины .

Центральный смешанный момент

играет в теории вероятностей особую роль и, как было отмечено п. 1.16, называется корреляционным моментом или ковариацией случайных величин.

Для случайных дискретных величин формула для корреляционного момента имеет вид

. (1.18.27)

Для случайных непрерывных величин формула для корреляционного момента имеет вид

. (1.18.27)

Корреляционный момент описывает связь между случайными величинами. Так если случайные величины являются независимыми, то он равен нулю. В самом деле, если , то

Обратное утверждение неверно. Если , то случайные величины могут быть и зависимыми. В этом случае они называются некоррелированными.

На практике для оценки связи случайных величин удобнее рассматривать безразмерную величину

, (1.18.28)

которую называют коэффициентом корреляции.

Коэффициент корреляции для любых случайных величин удовлетворяет неравенству

. В самом деле, если рассмотреть случайную величину и вычислить по формуле (1.16.9) ее дисперсию

Здесь использовано свойство не отрицательности дисперсии.

Таким образом

,

откуда

.

Если зависимость между случайными величинами линейна – , то коэффициент корреляции . Действительно,

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение величины равны

.

Таким образом,

.