Система двух случайных непрерывных величин

Пусть теперь систему образуют две случайные непрерывные величины . Законом распределения этой системы называется вероятность события

. (1.18.5)

Функцию называют еще двумерной интегральной функцией распределения вероятности.

Если , то

. (1.18.6)

Здесь – функция распределения случайной величины .

Если , то

. (1.18.7)

Здесь – функция распределения случайной величины .

Очевидно, что

.

Вычислим вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами .

(1.18.8)

Если , то из формулы (1.18.8) получается известная формула

.

Пусть значение системы случайных величин , полученные во время опыта. Дадим приращения этим значениям. Образуется элементарный прямоугольник.

Вероятность попадания в этот прямоугольник обозначим . По формуле (1.18.8) находим

.

Средняя плотность вероятности в этом прямоугольнике выражается формулой

.

Переходя к пределу при , получаем функцию плотности распределения системы случайных непрерывных величин

. (1.18.9)

Поскольку функция является неубывающей по обоим аргументам, то функция плотности вероятности всегда неотрицательна – . Можно показать, что

. (1.18.10)

Очевидно, что

.

Законы отдельных величин и , входящих в систему получаются из формул (1.18.6), (1.18.7) и имеют вид

. (1.18.11)

Случайные величины и называются независимыми, если выполняется соотношение

.

Можно показать, что в этом случае будет иметь место подобное соотношение и для функции плотности вероятностей

.