Схема Бернулли

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться некоторое событие с одной и той же вероятностью . Такой опыт носит название – схема Бернулли. Требуется вычислить вероятность появления события в n опытах m раз. Обозначается такая вероятность – . Рассмотрим сначала пример.

Пример 1.11.1. Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Какова вероятность двух попаданий?

Решение. Обозначим – попадания при первом, втором и третьем выстрелах, – соответственно промахи. Причем

.

Событие – два попадания при трех выстрелах конструируется следующим образом:

Тогда вероятность .

В общем случае конструкция события выглядит следующим образом

. (1.11.1)

Общее число слагаемых равно (число сочетаний из n по m), поэтому

(1.11.2)

Выражение (9.2) называется – формула Бернулли. Следует обратить внимание на тот факт, что вероятности представляют собой члены разложения бинома . Распределение вероятностей (9.2) называют биномиальным.

Результаты (1.11.1), (1.11.2) можно обобщить на случай, когда событие появляется в каждом опыте со своей вероятностью. В опыте с номером i вероятность появления равна , а вероятность не появления равна . Конструкция события усложнится и примет вид

(1.11.3)

Формула для вероятности принимает вид

(1.11.4)

Таким образом, в формуле (1.11.4) искомая вероятность равна сумме всевозможных произведений, в которые буквы с разными индексами входят m раз, а буквы с разными индексами входят n-m раз. Для удобного вычисления вероятностей (1.11.4) воспользуемся функцией

(1.11.5)

Легко видеть, что коэффициент при функции (1.11.5) и есть вероятность .

(1.11.6)

Многочлен (1.11.5), (1.11.6) называется производящей функцией. В частном случае, когда все вероятности равны , формула (1.11.6) принимает вид

(1.11.7)

откуда следует формула (1.11.2).

Если в формулах (1.11.6), (1.11.7) положить , то получим, что сумма всех вероятностей равна единице .

Пример 1.11.2. Производится четыре независимых выстрела по мишени с различных расстояний. Вероятности попаданий при этих выстрелах равны . Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий.

Решение: Составляем производящую функцию:

Таким образом

1.11.2. Асимптотическая формула Муавра – Лапласа.

Если число испытаний n в схеме Бернулли велико, то применение на практике формулы Бернулли (1.11.2) становится затруднительным при вычислении факториалов больших чисел.

В таких случаях целесообразно воспользоваться асимптотическими (приближенными) формулами. Одной их таких формул является локальная формула Муавра – Лапласа.

. (1.11.8)

Формула (1.11.8) приближенно рассчитывает вероятность появления события в n опытах раз. Иногда на практике требуется вычислить вероятность того, что число появлений события будет заключено между числами и . Для такого расчета существует интегральная формула Муавра – Лапласа

. (1.11.9)

Если ввести вспомогательную функцию

, (1.11.10)

то формула (1.11.9) принимает вид

. (1.11.11)

Замечание:

Формулы Муавра – Лапласа (1.11.8) – (1.11.11) целесообразно применять при и .