![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться некоторое событие с одной и той же вероятностью
. Такой опыт носит название – схема Бернулли. Требуется вычислить вероятность появления события
в n опытах m раз. Обозначается такая вероятность –
. Рассмотрим сначала пример.
Пример 1.11.1. Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Какова вероятность двух попаданий?
Решение. Обозначим – попадания при первом, втором и третьем выстрелах,
– соответственно промахи. Причем
.
Событие – два попадания при трех выстрелах конструируется следующим образом:
Тогда вероятность .
В общем случае конструкция события выглядит следующим образом
. (1.11.1)
Общее число слагаемых равно (число сочетаний из n по m), поэтому
(1.11.2)
Выражение (9.2) называется – формула Бернулли. Следует обратить внимание на тот факт, что вероятности представляют собой члены разложения бинома
. Распределение вероятностей (9.2) называют биномиальным.
Результаты (1.11.1), (1.11.2) можно обобщить на случай, когда событие появляется в каждом опыте со своей вероятностью. В опыте с номером i вероятность появления равна
, а вероятность не появления равна
. Конструкция события
усложнится и примет вид
(1.11.3)
Формула для вероятности принимает вид
(1.11.4)
Таким образом, в формуле (1.11.4) искомая вероятность равна сумме всевозможных произведений, в которые буквы с разными индексами входят m раз, а буквы
с разными индексами входят n-m раз. Для удобного вычисления вероятностей (1.11.4) воспользуемся функцией
(1.11.5)
Легко видеть, что коэффициент при функции (1.11.5) и есть вероятность
.
(1.11.6)
Многочлен (1.11.5), (1.11.6) называется производящей функцией. В частном случае, когда все вероятности равны , формула (1.11.6) принимает вид
(1.11.7)
откуда следует формула (1.11.2).
Если в формулах (1.11.6), (1.11.7) положить , то получим, что сумма всех вероятностей
равна единице
.
Пример 1.11.2. Производится четыре независимых выстрела по мишени с различных расстояний. Вероятности попаданий при этих выстрелах равны . Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий.
Решение: Составляем производящую функцию:
Таким образом
1.11.2. Асимптотическая формула Муавра – Лапласа.
Если число испытаний n в схеме Бернулли велико, то применение на практике формулы Бернулли (1.11.2) становится затруднительным при вычислении факториалов больших чисел.
В таких случаях целесообразно воспользоваться асимптотическими (приближенными) формулами. Одной их таких формул является локальная формула Муавра – Лапласа.
. (1.11.8)
Формула (1.11.8) приближенно рассчитывает вероятность появления события в n опытах
раз. Иногда на практике требуется вычислить вероятность того, что число появлений события
будет заключено между числами
и
. Для такого расчета существует интегральная формула Муавра – Лапласа
. (1.11.9)
Если ввести вспомогательную функцию
, (1.11.10)
то формула (1.11.9) принимает вид
. (1.11.11)
Замечание:
Формулы Муавра – Лапласа (1.11.8) – (1.11.11) целесообразно применять при и
.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 310 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!