Примеры. 1.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции

1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции

y = sin x и осью абсцисс при условии .

З а м е ч а н и е. Важный момент решения –построение чертежа!

Алгоритм построения чертежа:

1шаг. Построить все прямые;

2 шаг. Только потом строить графики других функций, выгоднее их строить точечно;

3 шаг. После того, как чертеж поострен, прикинуть, как найти пределы интегрирования: по чертежу или аналитически.

Решение:

1.Выполним чертеж

x

2p

0

y

p

Рис.1.6.

Разобьём отрезок на два отрезка: и . На первом из них sin x , на втором sin x . Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:

Ответ:4

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

Решение: 1. Выполним чертеж:

Рис.1.7.

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX, то ее площадь можно найти по формуле:

Ответ:

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:1. Построим чертеж

Рис.1.8.

Н а п о м и н а н и е: сначала строим прямую и только потом – параболу.

Определение: Если на отрезке некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:

В нашем примере на отрезке [0,3] парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть –x.

Воспользуемся формулой , откуда имеем:

Ответ: .

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

1.Выполним чертеж.

Рис.1.9.

Внимательно смотрим на условие - чем ограниченна фигура! На рисунке фигура заштрихована более крупно.

Наша фигура состоит из двух криволинейных трапеций:

1. На отрезке[-1,1] над осью OX расположен график ;

2. На отрезке [1,3]над осью OX расположен график гиперболы .

Поэтому площадь криволинейной трапеции состоит из двух площадей, поэтому:

Ответ: .

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Выразим в функциях y через x:

Построим чертеж

Рис.1.10.

На чертеже видно, что целым числом выражен только верхний предел, b=1, но нижний предел точно по чертежу определить сложно, поэтому определим его аналитически. Для этого решим уравнение:

Рассмотрим отрезок где,

По формуле имеем:

Ответ: