Приложения интегрального исчисления в нефтегазовом деле

Пусть известна функция t=t(x), описывающая изменение затрат времени t на освоение нового месторождения, где x – порядковый номер скважин. Тогда среднее время, затраченное на освоение одной скважины в период освоения от скважин, вычисляется по теореме о среднем:

.

Что касается функции изменения затрат времени на освоение месторождения t=t(x), то часто она имеет вид

,

где – затраты времени на освоение первой скважины, - показатель процесса.

Пример 1. Найти объём добытой нефти за 4 года, одной скважины, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

Решение:

Используем метод интегрирования по частям. Пусть , . Тогда , .

Следовательно,

().

· Давление жидкости. Рассмотрим вычисление величины давления жидкости на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость.

Предположим, что ABCD (рис.10)представляет часть вертикальной пластинки, погруженной в жидкость, например часть вертикальной пластинки резервуара, наполненного жидкостью. Требуется вычислить величину давления на эту площадку. Расположим оси оси координат, как показано на рисунке, где ось OY выбрана совпадающей с уровнем жидкости. Разделим отрезок AB на n небольших интегралов и построим n прямоугольников, как это сделано на рисунке 10.

Рис.10.

Площадь одного прямоугольника (например, прямоугольника EM) равна . Если этот прямоугольник был расположен в горизонтальной плоскости на глубине x, считая от уровня жидкости в сосуде, то величина давления жидкости на прямоугольник была бы равна (величина давления жидкости на горизонтальную площадку равна весу столба жидкости, имеющего эту площадку своим основанием и высотой – расстояние площадки от свободной жидкости), где -вес единицы объема жидкости. Так как давление жидкости во все стороны одинаково, то отсюда следует, что есть элемент величины давления на пластинку. Следовательно, величина давления P на всю пластинку ABCD будет равна

(1).

Для фактического вычисления в данной формуле следует выразить y как функцию x из уравнения кривой CD, ограничивающей пластинку.

Вес кубического метра нефти будем считать равным 76 кг (= ).

Пример 2. Резервуар для нефти имеет форму лежащего цилиндра диаметром 6м, наполовину заполненную нефтью. Найти величину давления нефти на вертикальную заслонку, закрывающую резервуар.

Решение.

Уравнение окружности есть

,

следовательно, ,далее, =97 пределы интегрирования суть a=0, и b=3.

Подставляя эти значения в формулу (1), получим величину давления на вертикальную часть заслонки, расположенную вправо от оси OX (рис.1.12.1.),

Рис.1.2.1.

.

Следовательно, величина давления на всю заслонку

.

· Работа. Если величина силы, действующей по направлению движения, постоянна, то под работой, произведенной силой, подразумевают произведение силы на путь , пройденной материальной точкой, где обозначает конечную, а точку движения. Если сила переменная, то работа может быть определена только с помощью предельного перехода. Мы разбиваем весь отрезок пути от до на n частей и предполагаем, что в каждом частичном небольшом интервале сила имеет постоянное значение, например то значение f(s), какое она принимает в некоторой произвольно взятой точке s этого интервала. Тогда произведение дает нам элементарную работу, а полная работа W, произведенная силой, выразится так:

.

Если направление действующей силы совпадает с направлением движения, то произведенная работа положительна, в противоположном случае работа отрицательна.

Пример 3. Резервуар для нефти имеет форму цилиндра (рис.1.2.2.)наполнен нефтью. Если высота h, а радиус основания r, то сколько времени потребуется чтобы что бы он опорожнился, если произойдет пробоина в основании с площадью a?

Рис.1.2.2.

Решение. Известно, что если пренебречь всеми осложняющими явление сопротивлениями, то скорость истечения через отверстие равна скорости, приобретаемое телом, свободно падающим с высоты, равной глубине нефти в сосуде. Следовательно, обозначая эту глубину буквой x, имеем:

Пусть в элемент времени dt вытекает объем dQ нефти, а соответствующее понижение поверхности назовем dx. В единицу времени вытекает из отверстия объем жидкости , измеряемый прямым цилиндром, площадь основания которого есть a, а высота v (= ).Следовательно, в течение времени dt вытекает

(а)

Но объем жидкости, вытекающий за время dt, можно рассматривать как объем цилиндра AB у которого площадь основания равна S,а высота равна dx, отсюда

(в)

Приравнивая (a) и (b) и решая относительно dt, имеем: , откуда

.