Замена переменной в определённом интеграле

Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке , функция имеет на отрезке непрерывную производную, при этом и Тогда

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для определенного интеграла.

1. Найдём

Решение:

Воспользуемся подстановкой x= sin t; тогда . Найдём новые пределы интегрирования, подставляя старые пределы в нашу замену, , то t=0 и a=2, если х=1, если sint=1, то . Получим

.

2.

1шаг. Смотрим, если похожий интеграл в таблице интегралов?

Есть, но видоизмененный:

Готовим наш интеграл к табличному интегралу: пусть , тогда можно записать: (*)

2 шаг. Вводим замену:

3шаг. Находим новые пределы интегрирования:

подставляя старые пределы в нашу замену, , то t=0 и a=0, если , то , и в=3.

Продолжаем решение.

(*)

Рассмотрим образец оформления вычисления определенного интеграла:

2(2-0)-2[ln(2+1)-ln(0+1)]=4-2ln3≈1,803.