Сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся

Геометрически для неотрицательной при функции f(x) несобственный интеграл по аналогии с собственным интегралом представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), слева отрезком прямой x=a и снизу осью Ox.

a

0

x

y

y=f(x)

Рис.10.

Что значит вычислить несобственный интеграл? Вычислить несобственный интеграл – это значит найти ЧИСЛО или доказать, что оно расходится. Несобственные интегралы бывают двух видов: несобственный интеграл с бесконечным пределом (амии) интегрирования и несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл существует только тогда, когда подынтегральная функция непрерывна на интервале .

Несобственный интеграл численно равен площади заштрихованной площади фигуры, при этом возможны два случая:

1)Если фигура бесконечна, то , тогда говорят, что несобственный интеграл расходится.

2)Если , то несобственный интеграл сходится.

Важно! Когда для решения предложен любой несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речь не идет и чертеж строить не нужно. Главное найти ЧИСЛО или доказать, что несобственный интеграл расходится.

Примеры:

1. Исследовать на сходимость интегралы:

а) т.е. данный несобственный интеграл сходится.

б) т.е. данный интеграл расходится.

в) Установим, при каких значениях интеграл сходится.

Случай был рассмотрен в примере б). Если то

.

Значит, данный интеграл сходится при >1 и расходится при

Аналогично определяются следующие несобственные интегралы