Мы изучили неопределенный интеграл, представляющий собой множество первообразных заданной функции. Теперь настала пора познакомиться с понятием определенного интеграла, потребность в изучении которого возникла в связи с необходимостью решать геометрические и физические задачи. Помимо этого, дальше в пособии мы встретимся с двойными, тройными, криволинейными интегралами; а еще в математике встречаются однокоренные понятия, такие как «интегральные кривые», «интегральные многообразия», «интегральные преобразования» и т.д. Общий корень всех этих математических терминов произошел от латинского ”integratio” = «восстановление,возобновление», и впервые был предложен Я. Бернулли в 1690 году (правда,пальму его первенства оспаривал другой представитель той же семьи − И. Бернулли).
Пусть на отрезке 
задана функция y=f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков точками 
. На каждом отрезке 
разбиения выберем некоторую точку 
и положим 
, где 
. Сумму вида
будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками 
, так и от выбора точек 
на каждом из отрезков разбиения , 
.
Рис.1
Если существует предел 
, не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора точек 
, то этот предел будем называть определённым интегралом функции f(x) на отрезке и обозначать символом 
т.е.
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма 
– интегральной суммой.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
