Вычисления площадей плоских фигур

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x) на этом отрезке, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

a

0

x

y=f(x)

b

y

S

Рис.2

Замечания:

1. Если же на , то – f(х) на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

a

0

x

y=f(x)

b

y

S

или

Рис.3.

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу – графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

a

0

x

y2=f2(x)

b

y

S

y1=f1(x)

Рис.4.

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x₂=j₂(y), слева – графиком функции x₁=j₁(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

c

0

x

d

y

S

Рис.5.

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу. У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. Определенный интеграл – это число.

С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.

Определенному интегралу) если он существует)геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.