Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен

Общее правило: за u всегда обозначается обратная тригонометрическая функция!

11.

Интегрирование простейших рациональных дробей

Многочленом степени n называется выражение вида , где – действительные числа . Например, 5–7x – многочлен первой степени ,

=2x³ – 3x² +8x – 1 – многочлен третьей степени.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, – рациональные дроби. Всякая рациональная дробь имеет вид:

где – многочлены степени m и n соответственно.

, если

Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:

I) ; II) III) ; IV)

Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко:

,

где k – целое, .

От дробей третьего и четвёртого типов вычисляют заменой , или по следующим формулам:

Разложение многочленов на множители

Для любых многочленов имеет место теорема Безу:

, где z₀ - простой корень

, где z₀ - корень кратности k.

Если z - корень комплексный: , где i=

и , то , где – сопряженный корень.

Любой многочлен можно разложить на линейные и квадратичные множители

– действительные корни; - комплексные корни

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, если знаменатель дроби представлен в виде сомножителей :

12. Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:

а) ;

б) .

Решение:

а)

б)

13. Вычислить интеграл:

Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

приравнивая числители дробей, получаем:

Определим коэффициенты А и В, придавая любые значения переменной x:

Получаем А=1 и В=1. Исходный интеграл найдём как сумму интегралов от полученных дробей.

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где

Такая замена называется универсальной тригонометрическая подстановкой.

В этом случае,

Тогда

.

14. Найти

Решение:

Положим . Тогда, используя выражения через t для dx и sin x, указанные выше, получаем, что искомый интеграл равен

При вычислении интегралов вида

рассмотрим частные случаи:

n – нечётное

n, m – чётные, .

применяют формулы тригонометрии:

При вычислении интегралов вида делают замену , тогда

Если интеграл имеет вид

,

где n, m – чётные, применяют формулу:

15. Вычислить интегралы:

а)

б)

Решение:

а)

б)

При вычислении

используют формулы

Интегрирование иррациональных выражений

При вычислении интегралов, содержащих иррациональные выражения применяют замену переменной.

Если ,

то , где

Если

то , где