Пересечение плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии, которую можно построить по двум общим точкам. Видимость прямых, расположенных в пересекающихся плоскостях, определяется по конкурирующим точкам.

Пример 3.2. Построить проекции линии пересечения треугольников АВС и DEF. Определить видимость треугольников относительно плоскостей проекций (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Линия пересечения треугольников К – М строится по точкам пересечения сторон АВ и АС треугольника АВС с плоскостью другого треугольника.

Для определения точки К пересечения стороны АВ с ∆ DEF:
1) через сторону АВ провести фронтально проецирующую плоскость a;
2) построить линию пересечения этой плоскости с плоскостью ∆ DEF;
3) точка К находится на пересечении линии (1 – 2) со стороной АВ треугольника АВС.

Аналогично определена точка М с помощью проведения вспомогательной фронтально проецирующей плоскостью β через сторону АС треугольника АВС.

Чтобы определить видимость треугольников на горизонтальной плоскости проекций, проведем горизонтально проецирующую прямую, пересекающую стороны АС и DE данных треугольников. Эта проецирующая прямая пересекает DE в точке 5, а АВ – в точке 6. Точка 5 Î DE и дальше отстоит от плоскости проекций П₁, чем точка 6 Î АВ. Следовательно, стороны D₁E₁ в П₁ полностью видима, а сторона А₁В₁ на участке (6_1­ – К₁) невидима. Этого достаточно для определения видимости в П₁ остальных сторон треугольника.

Для определения видимости треугольников на фронтальной плоскости проекций проведем фронтально проецирующую прямую, пересекающую стороны EF и АС данных треугольников. Эта проецирующая прямая пересекает EF в точке 4, а АС – в точке 7. Точка 4 Î EF дальше отстоит от П₂, чем точка 7 Î АС. Следовательно, сторона E₂ F₂ в П₂ полностью видима, а сторона А₂ С₂ на участке (М₂ – 7₂) невидима. Этого достаточно для определения видимости треугольников во фронтальной плоскости проекций.

Задача 3.7. Построить проекции линии пересечения ∆ АВС и параллелограмма KLMN. Определить видимость фигур.	Задача 3.8. Найти линию пересечения плоскостей, заданных треугольником АВС и четырехугольником DEFG.
Задача 3.9. Через точку М провести фронтально проецирующую плоскость a под углом φ = 60° к П1. Построить линию пересечения плоскости a с ∆ АВС. Определить видимость фигур.	Задача 3.10. Построить линию пересечения плоскостей, заданных ∆ АВС и параллельными прямыми ED и FG.