Интерполяционная формула Ньютона

Пусть функция задана в равноотстоящих точках значениями . Интерполяционный многочлен будем искать в виде

. (1.8)

Неизвестные коэффициенты найдем из условий

(1.2)

При из формул (1.2) и (1.8) имеем .

Если , то из тех же формул, получим . Учитывая формулу (1.4), получим .

При , учитывая формулу (1.5), получим

,

.

При , получим , тогда (см. 1.7).

При по аналогии, получим . Подставив найденные коэффициенты в равенство (1.8) получим интерполяционную формулу Ньютона

(1.9)

Пример 12. Построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей 1.13.

Таблица 1.13.

	0,6931	1,0986	1,3863

Решение. Составим таблицу 1.14 конечных разностей.

Таблица 1.14

	0,6931 1,0986 1,3863	1,4055 0,2877	-0,1178

Здесь и по формуле (1.9) получим

Пример 13. Построить интерполяционный полином Ньютона для функции , заданной таблицей 1.15.

Таблица 1.15.

	0,6931	1,0986	1,3863	1,6094

Решение. Строим таблицу 1.16 конечных разностей.

Таблица 1.16.

	0,6931	0,4055	-0,1178	0,0532
	1,0986	0,2877	-0,0646
	1,3863	0,2231
	1,6094

По формуле (1.9) получим

Пример 14. Значения функции заданы таблицей 1.17.

Таблица 1.17.

1,50 1,55 0,60 1,65 1,70 1,75	4,481 4,711 4,953 5,207 5,474 5,755	0,230 0,242 0,254 0,267 0,281	0,012 0,012 0,013 0,014	0,000 0,001 0,001

Многочленом, какой степени можно заменить заданную таблицей функцию на рассматриваемом промежутке? Найдите этот многочлен.

Решение. Составляем таблицу 1.17 конечных разностей и видим, что конечные разности третьего порядка почти нули.

По формуле (1.9) получим многочлен второй степени

.

Пример 15. Функции заданы таблицей 1.18 и 1.19.

Таблица 1.18 Таблица 1.19

1,520 1,521 1,522 1,523 1,524 1,525	19,670 20,065 20,477 20,906 21,354 21,821

1,525 1,526 1,527 1,528 1,529	21,821 22,308 22,818 23,352 23,911

Проверьте, допускают ли таблицы квадратичное интерполирование.