Глава 1 Приближение функций

Интерполирование функций

Пусть - некоторая функция, для которой известна таблица 1.1 ее значений.

Таблица 1.1

					…
					…

Требуется найти многочлен (полином)

, (1.1)

который в точках принимал бы те же значения , т.е. удовлетворял условию

(1.2)

Многочлен , удовлетворяющий условиям (1.2), называется интерполяционным многочленом. В этом случае функцию и многочлен считают близкими, так как они совпадают на заданной системе точек . Точки называются узлами интерполирования.

Как для данной системы точек построить интерполяционный многочлен ?

Можно считать степень многочлена и определить коэффициенты из системы (1.2 )

Если значения отличны друг от друга, тогда система (1.2 ) имеет единственное решение и интерполяционный многочлен будет найден.

Пример 1. Построить интерполяционный многочлен , совпадающий с функцией в точках

Решение. Составим таблицу (1.2) значений функции в узлах интерполирования.

Таблица 1.2

Так как , то многочлен ищем в виде

Для определения коэффициентов составляем систему (1.2 )

Отсюда имеем

Интерполяционный многочлен примет вид и считаем, что при

Следует заметить, что значения функций и совпадают лишь в трёх точках, а в остальных точках их значения отличаются. Например,

Графическая иллюстрация решённой задачи интерполирования показана на рисунке 1.1.

Рис. 1.1

Основная идея применения интерполяционных формул состоит в том, что функция , для которой известна таблица её значений, заменяется интерполяционным многочленом, который рассматривается как приближённое аналитическое выражение для функции . Такая замена может потребоваться тогда, когда аналитическое выражение для неизвестно или является слишком сложным.

Пример 2. Для функции построить интерполяционный многочлен, совпадающий в точках

Ответ.