Метод наименьших квадратов. Пусть - отклонения эмпирической формулы от табличных данных

Пусть - отклонения эмпирической формулы от табличных данных. Геометрически отклонения представляют собой расстояния по вертикали точек от графика эмпирической функции, взятые со знаком “+” или “-“. Вычислим сумму отклонений, т.е. _i. Из того, что мала сумма отклонений, нельзя делать вывод, что малы и сами отклонения, т. к. в сумме большие положительные отклонения просто могут уничтожаться большими отрицательными отклонениями.

В методе наименьших квадратов наилучшими значениями параметров и считаются те его значения, для которых сумма квадратов отклонений минимальна, т.е.

Для нахождения наилучших значений параметров и используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных. Экстремум может быть только в тех точках, где частные производные функции по переменным и равны нулю или не существуют. Так как частные производные функции существуют при всех значениях и , приравняв их к нулю, получим систему для нахождения наилучших значений параметров и . Получим эту систему для нашего случая.

, тогда или (2.2)

Из таблицы 2.1 находим значения сумм и, подставив их в систему (2.2) найдём значения параметров и эмпирической формулы . Можно доказать, что при этих значениях параметров и сумма квадратов отклонений минимальна.