Применение многочленов Лагранжа и Ньютона для интерполирования и экстраполирования

Пусть неизвестная функция задана таблицей 1.1.

Таблица 1.1

					…
					…

Допустим, что нам необходимо знать значение функции в точке , которой нет в таблице. Составляем интерполяционный многочлен Лагранжа или Ньютона и промежуточное значение функции находим из интерполяционного многочлена , т.к. .

Для многих практических случаев для нахождения промежуточного значения функции достаточно выполнить линейную интерполяцию. Линейная интерполяция заключается в замене функции , проходящей через 2 точки , прямой, проходящей через те же точки. Значение функции вычисляем из уравнения прямой

, т.е. (1.10)

, где .

Пример 16. Известны значения некоторой функции при х=1.60, у=4.953 и при х=1.65, у=5.207. Вычислить значение функции при х=1.63.

Решение. Выполнив линейную интерполяцию из формулы (1.10) получим

.

Вычисленные значения функции принадлежали к функции и . Формула линейной интерполяции (1.10) выдала близкое значение 5.105.

Экстраполированием называется вычисление значений функции для значений аргумента, выходящих за пределы того интервала, для которого дана таблица, т.е. для значений и . Исходя из предположения, что достаточно гладкие функции и , совпадая в точках, не могут сильно отличаться в окрестности этих точек, пользуемся формулой для и точках и .

Задание 1.

Построить интерполяционные многочлены Лагранжа для функций, заданных таблицей 1.20 и 1.21.

Таблица 1.20. Таблица 1.21.

	1,1	1,6	1,9
	4,23	6,28	8,23

Ответ: . Ответ:

Задание 2. Построить интерполяционные многочлены Ньютона для функций, заданных таблицей 1.22, 1.23.

Таблица 1.22

	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5
	4,57	6,13	7,93	9,97	12,25

Ответ: .

Таблица 1.23.

	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4
	1,88	2,32	3,00	3,92	5,08

Ответ: .