Векторное и нормальное уравнение плоскости

Пусть в пространстве заданы система прямоугольных декартовых координат и некоторая плоскость p (рис. 6.2), положение которой определено единичным вектором , имеющим направление перпендикуляра OD, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра.

Рис. 6.2

Произвольную точку плоскости М мы будем обозначать двояким образом: либо при помощи её координат в виде M(x,y,z), либо при помощи её радиус-вектора – в виде = ; оба способа равнозначны, поскольку =x + y + z .

При любом положении точки М на плоскости p проекция её радиуса вектора на направление вектора всегда равна p: (6.3.1)

Но это равенство можно записать используя скалярное произведение.

= (r,n) - p = 0 (6.3.2)

Это векторное уравнение плоскости p.

От векторного уравнения перейдём к её координатному уравнению.

Обозначим через a, b, g углы образованные единичным вектором с ортами , , . Тогда cosa, cosb и cosg будут координатами этого вектора:

= cosa + cosb + cosg (6.3.3)

Кроме того, известно, что = x + y + z (6.3.4)

Используя формулы (6.3.3) и (6.3.4) выразим ( - ) - p = 0 в координатной форме:

(, ) - p = x cosa + y cosb + z cosg – p = 0 (6.3.5)

Это нормальное уравнение плоскости в координатной форме.

Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение плоскости p: Ax + By + Cz + D = 0 (6.1.2)

Как, отправляясь от этого уравнения, получить нормальное уравнение той же плоскости?

Так как уравнения (6.3.5) и (6.1.2) определяют одну и ту же плоскость p, то их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е.

(6.3.7)

при некотором l, из равенств (6.3.7) определяем l: ôlô= (6.3.8)

Знак l определяем для случая D¹0 из четвёртого равенства (6.3.7); так как p>0, то lD<0 и, следовательно, l имеет знак, противоположный знаку D.

Определение: Число l, имеющее модуль и знак, противоположный знаку коэффициента D, называется нормирующим множителем уравнения (6.1.2). При D=0 можно знак l выбрать произвольно.

Мы установили: для того, чтобы из общего уравнения плоскости (6.1.2) получить нормальное уравнение плоскости (6.3.5), надо обе части уравнения (6.1.2) помножить на нормирующий множитель этого уравнения.