Решение типовых примеров

Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что большая его ось 2а=10 и эксцентриситет .

Решение: По формуле (5.2.4) с= аe =5Ч0.8 = 4, а b находим из равенства b² = а² - с² = 25 - 16 = 9b =3. Подставляя найденные значения а=5, b=3 в уравнение (5.2.2), получим искомое уравнение эллипса

Пример 2. Написать уравнение гиперболы по данной полуоси а = 1 и полуфокусному расстоянию с = 2.

Решение: Из равенства а² + b² = с² найдем полуось b: 1 + b² = 4 b = .

Искомое уравнение гиперболы будет иметь вид

Пример 3. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х = -5у²

Решение: Перепишем уравнение так: и, сравнивая его с уравнением у² = -2рх, получим . Координаты фокуса и уравнение директрисы

Пример 4. Найти координаты вершины параболы, заданной уравнением х=у²+4у+1. Написать уравнение оси симметрии.

Решение: Найдем координаты вершины параболы: х = (у² + 4у + 4) - 4 + 1 х+3=(у+2)². Следовательно вершина параболы лежит в точке (-3,-2).

Уравнение оси параболы у = -2.

Пример 5. Найдите координаты точки М до поворота осей, если после поворота их на 135⁰ точка М имеет координаты (2,-3).

Решение: По формулам (4.2.1) преобразования координат получим:

х= 2 cos135⁰ - (-3) sin135⁰

y= 2 sin135⁰ +(-3) cos135⁰ ,

отсюда , , следовательно, координаты до поворота осей .