Общее уравнение плоскости

Плоскость однозначно определяется точкой на плоскости и вектором, перпендикулярным к ней. Пусть точка Mo(x₀,y₀,z₀) лежит на плоскости и вектор (A,B,C) перпендикулярен к плоскости (рис.6.1)

Возьмём на плоскости p любую точку M(x,y,z), образуем вектор и используем условие перпендикулярности двух векторов и .

^ Þ (, ) = 0 (6.1.1)

Запишем уравнение (6.1.1) в координатной форме.

(x₀-x, y₀-y, z-z₀), (A, B, C)

(, ) = A(x-x₀) + B(y₀-y) + C(z-z₀)

Преобразуя последнее выражение, получим Ax+By+Cz+D=0 (6.1.2)

Где D=-Ax₀-By₀-Cz₀

Уравнение (6.1.2) называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Рассмотрим, в чём заключаются особенности расположения плоскости, заданной общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.

1. A=0. В этом случае вектор N=Bj+Ck; он компланарен ортам j и k, т.е. параллелен плоскости Oyz, поэтому соответствующая плоскость будет параллельна оси Ox.

Аналогично, если B = 0, то плоскость параллельна оси Oy, если С = 0, то плоскость параллельна оси Oz.

2. D=0. Плоскость проходит через начало координат.

3. A=0, B=0 Þ плоскость параллельна плоскости Oxy (перпендикулярна оси Oz); уравнение такой плоскости приводится к виду z = c.

Аналогично, если A=C=0, то плоскость перпендикулярна оси Oy; если B=C=0, то плоскость перпендикулярна оси Ox. Уравнения таких плоскостей приводится соответственно к виду y = b; x = a.

4. A=D=0. Плоскость проходит через ось Ox, поскольку она параллельна оси Ox(A=0) и проходит через начало координат (D=0).

Аналогично, если B=D=0, то плоскость проходит через ось Oy. Если C=D=0, то плоскость проходит через ось Oz.

5. A=B=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oxy, её уравнение z = 0.

A=C=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oxz, её уравнение z = 0.

B=C=D=0. Плоскость совпадает с плоскостью Oyz, её уравнение x = 0.