![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если функция определена и
раз дифференцируема в окрестности точки
, то она может быть разложена в степенной ряд:
(14.3)
Выразим коэффициенты ряда через . Для этого найдем производные функции
:
;
;
;
Полагая , получим:
. Откуда имеем:
Подставляя значения этих коэффициентов в (14.3), получим разложение функции
в ряд Маклорена:
, (14.4)
где .
Так же как и для числовых рядов сумму ряда Маклорена можно представить в виде
,
где - n-я частичная сумма ряда,
-
-й остаток ряда.
Теорема. а) Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при
остаток ряда стремился к нулю, т.е.
для всех значений
из интервала
.
б) Если функция разложена в ряд Маклорена, то это разложение единственное.
Имеем
;
;
Область сходимости ряда
.
49. Разложение в ряд Маклорена функции y =ln (1+x) (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.
Рассмотрим
А теперь заметим, что функция является суммой ряда
Теперь воспользуемся теоремой о почленном интегрировании степенного ряда:
Область сходимости ряда .
50. Разложение в ряд Маклорена функции у= (1+ х) n (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.
, где
- любое действительное число.
Имеем: ,
,
,
,
…,
.
При :
,
,
,
,
…,
По формуле (ряд Маклорена):
. (1.1)
Интервал сходимости ряда (на концах интервала при
сходимость ряда зависит от конкретных значений
).
Ряд (1.1) называется биномиальным. Если - целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, т.к. при
,
член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 327 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!